Arcos e ângulos: medida de um arco (radianos), relação entre arcos e ângulos

Oi, aluno, tudo bem?

Neste post, vamos estudar um pouco sobre arcos e ângulos: o que são, como medi-los em diferentes unidades e qual é a relação entre eles.

Então, vem comigo!

Arcos e ângulos: o que são?

Antes de tudo, vamos definir os conceitos de arco e ângulo. Ângulo é a união de duas semirretas que têm uma origem em comum, que chamamos de vértice do ângulo. Já o arco geométrico é uma das partes de uma circunferência delimitada por dois pontos. Caso os dois pontos coincidam, temos um arco nulo ou um arco de uma volta. Mas, afinal, qual é a relação entre os dois conceitos?

A relação entre arco e ângulo é que usamos este último para medir o tamanho (em angular) do primeiro, e também para achar seu comprimento (medida linear). Vamos a um exemplo para entendermos melhor.

Considere um ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O. Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele percorre uma distância ℓ ao mesmo tempo que gira um ângulo α em torno do centro O. O movimento do ponto A descreve uma circunferência de medida α e comprimento ℓ.

Como toda grandeza precisa de uma unidade de medida, o α (medida angular) é medido em graus ou radianos. Já o ℓ é mensurado com grandezas lineares, como centímetros, metros, quilômetros, e outros.

Algo que você precisa lembrar é que o arco está sempre ligado ao ângulo central: ou seja, todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende. Por exemplo, o arco AB acima tem como medida o ângulo central AÔB que mede α.

Ah, e não se esqueça que o comprimento de uma circunferência é dado pela equação:

C = 2.𝜋.R

Medida de um arco

Existem duas formas de medir um arco: com graus ou radianos.

Medida em graus

Quando dividimos a circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos. Cada arco desses tem 1 grau (1º). Assim, uma circunferência possui 360º, meia circunferência, 180º, um terço de circunferência, 120º, e assim por diante.

Medida em radiano

O radiano é a unidade de medida de um ângulo que corresponde ao ângulo central subtendido por um arco de circunferência em que seu comprimento seja igual ao raio desta circunferência. Veja a imagem para entender melhor:

Assim, é possível mostrar, utilizando a fórmula do comprimento de uma circunferência, que a medida em radianos de uma circunferência é 2.𝜋.rad, e meia circunferência é 𝜋.rad.

Graus vs. radianos

Para converter graus em radianos e fazer o oposto, é só considerarmos que:

𝜋.rad = 180º

Então, para converter para radianos, basta usar regra de 3.

Vamos aplicar em um exemplo:

90º graus em radianos é:

180º → 𝜋.rad

90º → x

180x = 90𝜋.rad

x = 90𝜋.rad/180

x = 𝜋.rad/2

Comprimento de um arco

Como eu disse, quando medimos o comprimento de um arco, a unidade de medida é a mesma do raio, centímetros, metro, milímetro e outros. Sabendo que em uma volta completa a medida do arco é 2.rad e o comprimento é 2.R, podemos fazer a seguinte relação:

 

MEDIDA DO ARCO COMPRIMENTO DO ARCO
2.𝜋 2.𝜋.R
α

 

Em que:

α é a medida de um arco em radianos

ℓ é o comprimento de um arco

R é a medida do raio da circunferência

 

2.𝜋 / α = 2.𝜋.R / ℓ

ℓ = α.2.𝜋.R / 2𝜋

ℓ = α.R

Vamos a um exemplo para entendermos melhor:

Medir, em radianos, o arco AB contido em uma circunferência de raio 3 centímetros e cujo comprimento 4,5 centímetros.

α = ?

ℓ = 4,5 cm

R = 3 cm

 

ℓ = α.R

4,5 = α.3

α = 1,5 rad

Então, o arco mede 1,5 rad.

É isso aí, aluno! Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre arcos e ângulosse quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça meus planos e cursos. Espero você!


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