Tudo sobre a Equação do 2º Grau

Olá, aluno, tudo bem?

Neste post, vamos abordar um assunto bastante temido por muitos estudantes no estudo da Matemática: a Equação do 2º Grau. Mas, apesar de parecer complicada, a verdade é que esse conteúdo não precisa ser um bicho de sete cabeças: tudo o que precisamos é estudá-lo bem e praticar bastante.

E então, vamos lá? Vem comigo!

Conceito de Equação de 2º Grau

Uma Equação Quadrática ou Equação de 2º Grau é uma equação polinomial de grau dois. Sua forma geral é: ax² + bx + c = 0, em que x é uma variável. Já a, b e c constantes, com a ≠ 0.

As constantes a, b e c são conhecidas respectivamente como coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita.

As soluções de uma Equação de 2º Grau correspondem às intersecções com o eixo x, das abscissas (raízes) de uma função polinomial do 2º grau, como na figura abaixo:

A Equação de 2º Grau não é um conceito novo na Matemática; a descoberta de seu método de resolução é muitas vezes atribuída ao matemático indiano Bhaskara, que viveu no século XII. Entretanto, ele não foi o único a contribuir para a elaboração de maneira prática de resolver equações de 2º Grau.

No século XVI, o matemático francês Viète sugeriu o uso de letras no método resolutivo das equações do 2º grau. Hoje, a expressão matemática usada para a resolução de uma equação do 2º grau não deve ser atribuída apenas a uma pessoa, mas a vários estudiosos que, por meio de inúmeros trabalhos, desenvolveram a seguinte expressão:

Mais adiante veremos como resolver uma Equação de 2º Grau.

Equação do 2º grau completa

Para uma equação de 2º grau ser considerada completa, os coeficientes a, b e c, devem ser diferentes de zero, ou seja: a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. Assim, a equação do 2º grau vai ter a estrutura que citamos anteriormente: ax² + bx + c = 0. Veja alguns exemplos abaixo:

2x² + 4x + 1 = 0

a = 2, b = 4, c = 1

 

y² + 3y + 6 = 0

a = 1, b = 3, c = 6

Equação do 2º grau incompleta

Quando a equação de 2º grau é incompleta, os coeficientes b e c podem ser iguais a zero, ou seja, b = 0 e c = 0. O coeficiente a não pode ser igual a zero, pois, neste caso, teríamos uma equação de primeiro grau. Confira os exemplos:

x² − 4 = 0

a = 1, b = 0, c = – 4

 

3y² + 6x =0

a = 3, b = 6, c = 0

 

5z² = 0

a = 5, b = 0, c = 0

Como resolver equação do 2º grau

O objetivo de se resolver uma equação do 2º grau é encontrar os valores reais que a incógnita assume. Esses valores são chamados de raízes da equação; como ela é do 2º grau, deve possuir duas raízes reais diferentes ou idênticas.

Esses valores de x devem fazer com que a igualdade seja verdadeira; em outras palavras, ao substituir o valor de x na expressão, o resultado deve ser igual a 0. A seguir, veremos alguns métodos para resolver equações do 2º grau.

Fórmula de Bhaskara

Para resolvermos as equações do 2º grau, sejam elas completas ou incompletas, recorremos à fórmula de Bhaskara, que é dada por:

Sendo

Δ = b² − 4ac

Aplicando a fórmula de Bhaskara

Como podemos ver pela fórmula de Bhaskara, a resolução da equação do 2º grau tem dois caminhos, que levarão a dois valores diferentes para x:

Vamos resolver a equação do 2º grau 4x² + 4x + 1 = 0 utilizando a fórmula de Bhaskara para entendermos melhor.

Neste caso, as raízes (x₁ e x₂) dessa equação do segundo grão são idênticas.

Método para equações tipo ax² + c = 0

A fórmula de Bhaskara não é a única maneira de resolver uma equação do 2º grau. Há também um método para determinar a solução de equações incompletas que tenham b = 0, que consiste em isolar a incógnita x, assim:

Vamos ver um exemplo:

Então, as raízes são 3 e -3.

Método para equações tipo ax² + bx = 0

Um método para determinar as possíveis raízes de uma equação do 2º grau com c = 0 consiste em usar a fatoração por evidência:

ax² + bx = 0

x (ax + b) = 0

Ao analisarmos a última igualdade, é perceptível que existe uma multiplicação e que, para o resultado ser 0, é preciso que, ao menos um dos fatores seja igual ao 0.

x = 0

ax + b = 0

Assim, a solução é dada por

Vamos a um exemplo:

5x² – 45x = 0

5x (x – 9) = 0

5x = 0

x₁ = 0

x – 9 = 0

x₂ = 9

Neste caso, as raízes são 0 e 9.

Sistemas de equações do 2º grau

Quando há duas ou mais equações com mais de uma variável, temos um sistema de equações. A solução desse tipo de sistema de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados que satisfaz simultaneamente todas as equações envolvidas.

Por exemplo, temos o sistema

x² – x – 12 = 0

x – y = 0

Da equação x – y = 0, vamos isolar a incógnita x, assim:

x – y = 0

x = y

Agora vamos substituir o valor isolado na outra equação:

x² – x – 12 = 0

 

y² – y -12 = 0

A partir daí, podemos usar Bhaskara:

Como x = y, x₁ = y₁ e x₂ = y₂. Ou seja:

x₁ = 4

x’₂ = -3

É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre Equação do 2º Grau. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça meus planos e cursos. Espero você!


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