Equações Algébricas

Equações Algébricas: definição, raiz, multiplicidade de raízes, número de raízes de uma equação

Olá, aluno, tudo bem?

Neste post, vamos abordar equações algébricas e os conceitos relacionados, como definição, raiz, multiplicidade de raízes, número de raízes de uma equação.

E então, vamos lá? Vem comigo!

Definição de equações algébricas

Equações algébricas são equações em que as incógnitas são submetidas apenas às operações conhecidas como operações algébricas. Em outras palavras, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação, usando letras e números.

Vamos a um exemplo para entendermos melhor:

Dados dois polinômios p₁(x) e p₂(x), então a igualdade p₁(x) = p₂(x) → p₁(x) – p₂(x) = 0 é uma equação algébrica.

Vamos a outros exemplos:

2x⁴ – 4x³ + 6x² + 8x – 10 = 0

-3x³ + 5 = 0

7x² – 5x + 3 = 1

-10x + 8 = 6 – 4x + 2x⁴

O grau de uma equação algébrica vai ser o maior grau de um dos polinômios que a compõem. No caso das equações acima, os graus são iguais a 4, 3, 2 e 4, respectivamente.

 

Raiz de uma equação algébrica

Dizemos que um número é uma raiz (ou zero) de uma equação algébrica se ele satisfizer a igualdade em questão. Vamos a um exemplo:

x³ – x² + x – 1 = 0

Neste caso, x = 1 é uma das raízes da equação, pois ao substituirmos x por um na expressão, o valor satisfaz a igualdade;

1³ – 1² + 1 – 1 = 0

1 – 1 + 1 – 1= 0

0 = 0

Se fossemos tentar trocar x por 2, não obteríamos uma raiz, pois o valor não satisfaz a igualdade. Vejamos:

2³ – 2² + 2 – 1 = 0

8 – 4 + 2 – 1 = 0

5 ≠ 0

Dessa forma, para resolver uma equação algébrica, é necessário descobrir todos os possíveis números que são suas raízes.

 

Teorema da decomposição

O teorema da decomposição de um polinômio afirma que todo polinômio de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em fatores de grau 1. Entendeu? Vamos a um exemplo para visualizarmos melhor:

Se p(x) = 0 for uma equação algébrica de grau n, ou seja:

p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … a₂x² + a₁x + a₀

E r₁, r₂, …, rₙ forem suas raízes, é possível reescrever o polinômio p como:

p(x) = aₙ(x – r₁) . (x – r₂) . … (x – rₙ)

Vamos a um exemplo:

x² – 5x + 6 = 0

Essa equação tem como raízes os números 2 e 3. Assim, sendo p(x) o seu polinômio correspondente, então:

p(x) = 1 . (x – 2) . (x – 3)

Outro exemplo:

4x² – 4x + 1 = 0

Essa equação tem como única raiz o número ½. Então, pode-se escrever o polinômio como:

p(x) = 4( x – ½) . (x – ½)

ou

p(x) = 4(x – ½)²

 

Multiplicidade de raízes

As raízes de uma equação algébrica podem ser todas diferentes – ou não. O número de vezes que a mesma raiz aparece indica a sua multiplicidade. Vamos ver os exemplos para entender:

x² – 6x + 9 = 0 = (x – 3).(x – 3) = (x – 3)²

Nesse caso, dizemos que 3 é a raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação. 

Outro exemplo com um polinômio fatorado que resulta na seguinte expressão:

p(x) = (x + 5)³ . (x + 4)² . (x – 2)

Pode-se dizer que:

x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0

x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0

x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0

De forma geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se:

p(x) = (x – r)ͫ . q(x), sendo q(r) ≠ 0

Veja que p(x) é divisível por (x – r)ͫ  e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m.

 

Número de raízes

O grau da equação determina quantas raízes ela apresenta. Por exemplo, uma equação do 2º grau tem duas raízes, uma equação do 3º grau possui três raízes e assim por diante. Além disso, a soma das multiplicidades de todas as raízes é igual ao grau da equação. Vamos ver como isso acontece nas equações:

Se p(x) = 0 e 

p(x) = -3(x + 4)³ . (x + 1)² . (x – 6)²

Então, o grau de p é 3 + 2 + 2 = 7.

É isso aí, estudante! Espero que você tenha compreendido um pouco melhor sobre as equações algébricas. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


SAIBA MAIS

👉 ENEM: 5 passos para entender e detonar na prova mais esperada do ano
👉 MMC e MDC – Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum
👉 Baixe agora: 10 temas que caem todos os anos no ENEM

Me acompanhe nas redes sociais: curta a minha página no Facebook, me siga no Instagram, se inscreva no Youtube.

Compartilhar:

Deixe uma resposta