Exercícios de Teoria dos Conjuntos

Na aula de hoje, trago para vocês alguns exercícios resolvidos sobre Teoria dos Conjuntos. Acompanhe e bons estudos!

Questão 1

(Mackenzie) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o complementar de B em A é:

1. a) Ø
2. b) {8}
3. c) {8, 9, 10}
4. d) {9, 10, 11…}
5. e) {1, 5, 8}

RESOLUÇÃO:

O complementar do conjunto B em relação ao conjunto A nada mais é do que os elementos que só pertencem ao conjunto A, isto é, A – B. Portanto:

A – B = {1, 5, 8}

RESPOSTA: E

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Questão 2

(Enem) No dia 17 de maio passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B, e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:

1. a) 20 alunos
2. b) 26 alunos
3. c) 34 alunos
4. d) 35 alunos
5. e) 36 alunos

RESOLUÇÃO:

O enunciado nos informa que o total de alunos é igual a 100. Sendo assim, precisamos encontrar o número de estudantes que possuem antígeno somente A, somente B e A∩B.

Sabemos também que A∩B = 12. Assim:

A – B (somente em A) = 42 – 12 = 30

B – A (somente em B) = 36 – 12 = 24

Ao somarmos essas quantidades, teremos que: 12 + 30 + 24 = 66 alunos. Portanto, os estudantes restantes (34) são antígeno O.

RESPOSTA: C

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Questão 3

(Mackenzie) Se A = {x∈N / x é divisor de 60} e B = {x∈N / 1 ≤ x ≤ 5}, então o número de elementos do conjunto das partes de A∩B é um número

48. a) múltiplo de 4, menor que 48.
49. b) primo, entre 27 e 33.
50. c) divisor de 16.
51. d) par, múltiplo de 6.
52. e) pertencente ao conjunto {x∈R/ 32<x≤ 40}.

RESOLUÇÃO:

Para encontramos o número de elementos do conjunto das partes da interseção de A e B, basta fazer:

n(P(A∩B)) = 2n(A∩B)

Repare que o enunciado nos deu apenas as características desses elementos. O primeiro passo, portanto, é identificarmos quais são os elementos de cada conjunto.

Assim, para A, os divisores naturais de 60:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Repare que, embora haja outros divisores naturais, não precisamos ir além de 5, pois a questão nos pede que achemos os elementos da interseção de A com B, e o conjunto B possui como último elemento o 5.

Para B, queremos os números naturais de 1 a 5, ou seja;

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Então, sabemos que o número de elementos da interseção entre A e B é igual a 5:

n (A∩B) = 5

Portanto:

n(P(A∩B)) = 2n(A∩B)

n(P(A∩B)) = 25

n(P(A∩B)) = 32

RESPOSTA: A

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Questão 4

(UERN) Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é

1. a) 4
2. b) 11
3. c) 17
4. d) 19

RESOLUÇÃO:

Para esse exercícios, precisamos perceber que existem dois conjuntos de pessoas: aquelas que possuem automóvel (A) e que possuem moto (B):

n(A) = 51

n(B) = 42

Repare que o enunciado nos traz que 5 pessoas não possuem nem moto nem automóvel. Com isso, entendemos que:

n(AUB) = 87 – 5 = 82

A questão nos pede para encontrar a interseção entre esses dois conjuntos. Para isso, precisamos considerar que, no momento em que fazemos a união de conjuntos, alguns elementos podem se repetir. Para evitarmos que isso aconteça, temos que:

n(AUB) = n(A) + n(A) – n(A∩B)

82 = 51 + 42 – n(A∩B)

n(A∩B) = 11

RESPOSTA: B

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Questão 5

(UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:

• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;

• 78% do total de entrevistados gostam de pizza;
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:

1. a) 25%.
2. b) 30%.
3. c) 35%.
4. d) 40%.

RESOLUÇÃO:

Vamos destrinchar o enunciado e as incógnitas que temos em mãos. Para isso, vamos denominar cada uma delas com uma letra diferente, para facilitar nossas contas. Veja:

x = pessoas que gostam de pizza.

y = pessoas que gostam de chocolate.

z = pessoas que gostam de batata frita.

w = pessoas que gostam de chocolate e batata frita.

s = pessoas que gostam de batata frita e pizza.

v = pessoas que gostam de chocolate e pizza.

d = pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, pizza e batata frita.

Agora, vamos por partes. Inicialmente, vamos considerar todas as variáveis com pessoas que gostam de chocolate:

y + w + v + d = 82%

Depois, as que gostam de pizza:

x + s + v + d = 78%

Por fim, aquelas que gostam de batata frita:

z + d + s + w = 75%

O próximo passo é somar as equações das pessoas que gostam de chocolates e com as que gostam de pizza:

y + w + v + d + x + s + v + d = 82% + 78%

Ajustando:

y + w + v + d + x + s + ( v + d ) = 160%

Repare agora que:

y + w + v + d + x + s = 100%

Portanto:

100% + v + d = 160%

v + d = 160% – 100%

v + d = 60%

Agora vamos somar as equações com aquela que se refere às pessoas que gostam de batata frita:

z + d + s + w + v + d = 75% + 60%

z + d + s + w + v + (d) = 135%

Note que:

z + d + s + w + v = 100%

100% + d = 135%

Com isso, chegamos a um sistema de equações, com:

• v + d = 60%
• 100% + d = 135%

Devemos resolver a segunda equação para obter que:

100% + d = 135%

d = 35%

Esse é o número de pessoas que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, pizza e batata frita.

RESPOSTA: C

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É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor os exercícios de Teoria dos Conjuntos que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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