Na aula de hoje, trago para vocês alguns exercícios resolvidos sobre Teoria dos Conjuntos. Acompanhe e bons estudos!
Questão 1
(Mackenzie) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o complementar de B em A é:
a) Ø
b) {8}
c) {8, 9, 10}
d) {9, 10, 11…}
e) {1, 5, 8}
RESOLUÇÃO:
O complementar do conjunto B em relação ao conjunto A nada mais é do que os elementos que só pertencem ao conjunto A, isto é, A – B. Portanto:
A – B = {1, 5, 8}
RESPOSTA: E
Questão 2
(Enem) No dia 17 de maio passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B, e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos
b) 26 alunos
c) 34 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
RESOLUÇÃO:
O enunciado nos informa que o total de alunos é igual a 100. Sendo assim, precisamos encontrar o número de estudantes que possuem antígeno somente A, somente B e A∩B.
Sabemos também que A∩B = 12. Assim:
A – B (somente em A) = 42 – 12 = 30
B – A (somente em B) = 36 – 12 = 24
Ao somarmos essas quantidades, teremos que: 12 + 30 + 24 = 66 alunos. Portanto, os estudantes restantes (34) são antígeno O.
RESPOSTA: C
Questão 3
(Mackenzie) Se A = {x∈N / x é divisor de 60} e B = {x∈N / 1 ≤ x ≤ 5}, então o número de elementos do conjunto das partes de A∩B é um número
a) múltiplo de 4, menor que 48.
b) primo, entre 27 e 33.
c) divisor de 16.
d) par, múltiplo de 6.
e) pertencente ao conjunto {x∈R/ 32<x≤ 40}.
RESOLUÇÃO:
Para encontramos o número de elementos do conjunto das partes da interseção de A e B, basta fazer:
Repare que o enunciado nos deu apenas as características desses elementos. O primeiro passo, portanto, é identificarmos quais são os elementos de cada conjunto.
Assim, para A, os divisores naturais de 60:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Repare que, embora haja outros divisores naturais, não precisamos ir além de 5, pois a questão nos pede que achemos os elementos da interseção de A com B, e o conjunto B possui como último elemento o 5.
Para B, queremos os números naturais de 1 a 5, ou seja;
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Então, sabemos que o número de elementos da interseção entre A e B é igual a 5:
n (A∩B) = 5
Portanto:
n(P(A∩B)) = 32
RESPOSTA: A
Questão 4
(UERN) Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é
a) 4
b) 11
c) 17
d) 19
RESOLUÇÃO:
Para esse exercícios, precisamos perceber que existem dois conjuntos de pessoas: aquelas que possuem automóvel (A) e que possuem moto (B):
n(A) = 51
n(B) = 42
Repare que o enunciado nos traz que 5 pessoas não possuem nem moto nem automóvel. Com isso, entendemos que:
n(AUB) = 87 – 5 = 82
A questão nos pede para encontrar a interseção entre esses dois conjuntos. Para isso, precisamos considerar que, no momento em que fazemos a união de conjuntos, alguns elementos podem se repetir. Para evitarmos que isso aconteça, temos que:
n(AUB) = n(A) + n(A) – n(A∩B)
82 = 51 + 42 – n(A∩B)
n(A∩B) = 11
RESPOSTA: B
Questão 5
(UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:
- 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
- 78% do total de entrevistados gostam de pizza;
- 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:
a) 25%.
b) 30%.
c) 35%.
d) 40%.
RESOLUÇÃO:
Vamos destrinchar o enunciado e as incógnitas que temos em mãos. Para isso, vamos denominar cada uma delas com uma letra diferente, para facilitar nossas contas. Veja:
x = pessoas que gostam de pizza.
y = pessoas que gostam de chocolate.
z = pessoas que gostam de batata frita.
w = pessoas que gostam de chocolate e batata frita.
s = pessoas que gostam de batata frita e pizza.
v = pessoas que gostam de chocolate e pizza.
d = pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, pizza e batata frita.
Agora, vamos por partes. Inicialmente, vamos considerar todas as variáveis com pessoas que gostam de chocolate:
y + w + v + d = 82%
Depois, as que gostam de pizza:
x + s + v + d = 78%
Por fim, aquelas que gostam de batata frita:
z + d + s + w = 75%
O próximo passo é somar as equações das pessoas que gostam de chocolates e com as que gostam de pizza:
y + w + v + d + x + s + v + d = 82% + 78%
Ajustando:
y + w + v + d + x + s + ( v + d ) = 160%
Repare agora que:
y + w + v + d + x + s = 100%
Portanto:
100% + v + d = 160%
v + d = 160% – 100%
v + d = 60%
Agora vamos somar as equações com aquela que se refere às pessoas que gostam de batata frita:
z + d + s + w + v + d = 75% + 60%
z + d + s + w + v + (d) = 135%
Note que:
z + d + s + w + v = 100%
100% + d = 135%
Com isso, chegamos a um sistema de equações, com:
- v + d = 60%
- 100% + d = 135%
Devemos resolver a segunda equação para obter que:
100% + d = 135%
d = 35%
Esse é o número de pessoas que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, pizza e batata frita.
RESPOSTA: C
É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor os exercícios de Teoria dos Conjuntos que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
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