Exercícios Resolvidos de Álgebra: Expressões Algébricas e Produtos Notáveis

Fala, pessoal, tudo certo? Neste post, vamos resolver juntos exercícios sobre expressões algébricas e produtos notáveis. Essas questões fazem parte do meu curso de pré-cálculo, que é focado em preparar bem os alunos nos principais conceitos da matemática básica, que é fundamental para que você possa estudar matérias mais complexas com mais tranquilidade.

Lembrando que uma expressão algébrica não terá como resultado final um número, mas uma sugestão de como esse número vai se comportar, uma vez que sempre teremos uma incógnita (uma letra).

Então lápis e caderno na mão e bons estudos!

Exercícios de Expressões Algébricas e Produtos Notáveis

Expanda e simplifique

a) 3(x + 6) + 4(2x – 5)

Veja que, quando não temos nenhum sinal entre o número e o parÊnteses que vem na sequência, isso significa que devemos multiplicar o elemento que está do lado de fora pelo que está no lado de dentro do parênteses.

Nesse caso:

3(x + 6) + 4(2x – 5)

3x – 18 + 8x – 20

Agora, devemos procurar por termos semelhantes para tentar simplificar essa expressão. Note que temos dois elementos que combinam um número e uma letra (3x e 8x) e dois algarismos puros (18 e 20). Repare, também, que o x está com o mesmo expoente, que é 1 (e por isso não necessita ser mostrado).

Bom, se temos elementos com a mesma estrutura e potenciação, podemos combiná-los, respeitando os sinais. Assim:

3x + 8x = 11x

18 – 20 = -2

Então nossa expressão simplificada ficaria: 

11x – 2.

b) (x + 3) (4x – 5)

Neste caso, também temos que multiplicar os elementos. Porém, aqui deveremos fazer a multiplicação dos dois elementos do primeiro parênteses com os dois termos do segundo parênteses.

Acompanhe o passo a passo:

(x + 3) (4x – 5)

x . 4x = 4x²

Note que isso acontece pois temos uma multiplicação de bases iguais. Assim, devemos manter a base e somar os expoentes.

Seguindo:

x . -5 = -5x

3 . 4x = 12x

3 . -5 = -15

A expressão fica:

4x² – 5x + 12x – 15

Simplificando, chegamos à expressão final:

4x² + 7x – 15

c) (√a + √b) (√a – √b)

Vamos resolver esta alternativa de duas formas diferentes. Comecemos fazemos a distributiva:

(√a + √b) (√a – √b)

(√a)² – (√a).(√b) + (√b).(√a) – (√b)²

Vamos arrumar essa bagunça. Repare que, quando temos uma raiz quadrada elevado ao quadrado, podemos cortar os expoentes, eliminando a raiz, pois são operações inversas:

(√a)² = a

Veja também que, na sequência, temos duas operações idênticas, mas apenas com a ordem trocada. Como os sinais são opostos, temos que:

-(√a).(√b) + (√b).(√a) = 0

O último elemento repete a lógica do primeiro:

(√b)² = b

Passando a limpo, temos a expressão final:

a – b

Mas há outra forma que podemos resolver esta alternativa. Nesse caso, bastaria perceber que a expressão (√a + √b) (√a – √b) é um produto notável, ou seja, o produto da soma pela diferença de termos iguais.

Isso significa que o resultado será o quadrado do primeiro termos menos o quadrado do segundo termo:

(√a)² – (√b)² = a – b

d) (2x + 3)²

Também vamos resolver esta alternativa de duas formas. Para começar, repare que a expressão entre parênteses está elevada ao quadrado. Isso quer dizer que seria a mesma coisa que multiplicarmos ela por ela mesma:

(2x +3).(2x+3)

4x² + 6x + 6x + 9

4x² + 12x + 9

A outra forma de resolver a questão é observar que isso também se trata de um produto notável, pois é o quadrada da soma. Isso pode ser representado dessa forma:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Então, bastaria substituir com os termos que temos:

(2x)² + 2.(2x).3 + (3)²

4x² + 12x + 9

e) (x + 2)³

Observe que aqui temos o cubo da soma, isto é, elevado a 3. Isso quer dizer que poderíamos multiplicar o número duas vezes.

(x + 2).(x + 2).(x + 2)

Mas seria uma conta muito grande. Então, podemos simplificar da seguinte forma:

(x + 2)³ = (x + 2)².(x + 2)

Já sabemos que o primeiro elemento é o quadrado da soma, o que nos permite resolver a partir do produto notável. Portanto:

(x² + 2.x.2 + 4).(x+2)

(x² + 4x + 4).(x+2)

Aplicando a distributiva:

x³ + 2x² + 4x² + 8x + 4x + 8

x³ + 6x² + 12x + 8

Mas esta alternativa também pode ser resolvida de outra forma. Lembra-se do triângulo de Pascal? Ele nos traz os números binomiais. Veja:

Repare que cada linha é formada pela soma dos elementos imediatamente acima e à esquerda, sempre mantendo o 1 no lado esquerdo.

Os números binomiais do triângulo de Pascal vão nos dar os coeficientes, seja do quadrado da soma, do cubo da soma etc.

Lembra o quadrada da soma?

a² + 2ab + b²

Note os coeficientes de cada elemento: 1-2-1. É exatamente o que temos na terceira linha do triângulo, que representa o expoente 2 (a primeira linha é o expoente 0).

Agora repare como seria o cubo da soma. Basta buscarmos na quarta linha (expoente 3):

(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³

Então, voltando à alternativa, basta substituir:

(x + 2)³ = x³ + 3x²2 + 3×2² + 2³

x³ + 6x² + 12x + 8


Para aprender mais:

É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor como é o estilo das questões sobre expressões algébricas que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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