Exercícios sobre equação do 2º grau

Exercícios sobre equação do 2º grau

Fala meus alunos! Tudo bem com vocês? Percebaa! No post de hoje, trago para você alguns exercícios resolvidos sobre equação do 2º grau. Acompanhe e bons estudos!

Questão 1

(Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = -t² / 4 +400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

  1. a) 19,0
  2. b) 19,8
  3. c) 20,0
  4. d) 38,0
  5. e) 39,0

RESOLUÇÃO:

Repare que o forno só pode ser aberto quando a temperatura está em 39 ºC. Portanto, T(t) = 39. Dessa forma:

T(t) = -t² / 4 +400

39 =  -t² / 4 +400

-t² / 4 = 39 – 400

-t² / 4 = -361

-t² = -361 . 4

-t² = -1444

t = √1444

t = 38

RESPOSTA: D

Questão 2

(Fatec) Se a equação x² – 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é

  1. a) 100
  2. b) 25
  3. c) 5
  4. d) 1
  5. e) 0

RESOLUÇÃO

Note que o enunciado nos traz que a raiz de multiplicidade é 2. Para que isso aconteça, a equação precisa ter uma única solução, ou seja, Δ = 0. Dessa forma, devemos calcular o valor de Δ na equação dada, considerando que a = 1, b = -10 e c = k.

Δ = b² – 4 . a . c

Δ = (-10)² – 4 . 1 . k

Δ = 100 – 4k

Como Δ = 0, então temos:

100 – 4k = 0

100 = 4k

k = 100 / 4

k = 25

RESPOSTA: B

Questão 3

(PUC-Rio) As duas soluções de uma equação do 2° grau são – 1 e 1 / 3. Então a equação é:

  1. a) 3x² – x – 1 = 0
  2. b) 3x² + x – 1 = 0
  3. c) 3x² + 2x – 1 = 0
  4. d) 3x² – 2x – 2 = 0
  5. e) 3x² – x + 1 = 0

 

RESOLUÇÃO:

Para fazer o caminho inverso, ou seja, para descobrirmos a equação de 2º grau a partir das raízes, devemos lembrar que:

(x – S1) . (x – S2) = 0

onde S1 e S2 são as raízes que nos foram dadas no enunciado.

Assim:

(x – (- 1)) . (x – (1 / 3)) = 0

(x + 1) . (x – (1 / 3)) = 0

x² – (1 / 3)x + x – 1 / 3 = 0

x² + (2 / 3)x – 1 / 3 = 0

Note agora que basta multiplicar essa equação por 3 para chegarmos a uma resposta:

3x² + 2x – 1 = 0

RESPOSTA: C

Questão 4

(UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33 / 4. Esse número está compreendido entre:

  1. a) 5 e 6
  2. b) 1 e 5
  3. c) 1/2 e 1
  4. d) 3/10 e 1/2
  5. e) 0 e 3/10

RESOLUÇÃO:

Para começar, vamos chamar de x o número cujo valor temos que descobrir. Seu inverso, portanto, é 1 / x. O enunciado nos diz que a soma x com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33 / 4. Dessa forma:

x + 2 . 1 / x = 33 / 4

(4x² + 8 = 33x) / 4x

4x² – 33x + 8 = 0

Agora que temos uma equação de 2º grau em mãos, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ =  b² – 4 . a . c

Assim:

Δ =  (-33)² – 4 . 4 . 8

Δ =  1089 – 128

Δ =  961

Substituindo em Bhaskara:

x = – (-33) ± √961 / 2. 4

x = 33 ± 31 / 8

x’ = 64 / 8

x’ = 8

x” = 2 / 8

x” = 1 / 4

Agora, sim: encontramos as duas raízes da equação. No entanto, repare que o enunciado pede apenas um número racional não inteiro. Portanto, devemos descartar o 8, por se tratar de um número inteiro. Nossa resposta, então, será o x”, que é 1/4 ou 2,5.

RESPOSTA: E

Questão 4

(Enem) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ – 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

  1. a) 1,3 h.
  2. b) 1,69 h.
  3. c) 10,0 h.
  4. d) 13,0 h.
  5. e) 16,9 h.

RESOLUÇÃO:

Para que o volume seja igual, temos que considerar:

V1(t) = V2(t)

250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000

Isolando t, teremos:

250t³ – 150 t³ – 100t – 69t = 3000 – 3000

100t³ -169t = 0

t (100t² – 169) = 0

Sabemos que o resultado de uma multiplicação é zero quando um dos fatores também é zero. Logo, ou t = 0 (conforme o enunciado) ou 100t² – 169 = 0. Considerando a segunda opção, chegamos a:

100t² – 169 = 0

100t² = 169

t = ±√169 / 100

t = ±13 / 10

t = ±1,3

Como t representa tempo e essa grandeza só pode ser positiva, então t = 1,3.

RESPOSTA: A

É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor como é o estilão das questões de equação do 2º grau que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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