Exercícios sobre equação do 2º grau

Fala meus alunos! Tudo bem com vocês? Percebaa! No post de hoje, trago para você alguns exercícios resolvidos sobre equação do 2º grau. Acompanhe e bons estudos!

Questão 1

(Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = -t² / 4 +400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0

b) 19,8

c) 20,0

d) 38,0

e) 39,0

RESOLUÇÃO:

Repare que o forno só pode ser aberto quando a temperatura está em 39 ºC. Portanto, T(t) = 39. Dessa forma:

T(t) = -t² / 4 +400

39 =  -t² / 4 +400

-t² / 4 = 39 – 400

-t² / 4 = -361

-t² = -361 . 4

-t² = -1444

t = √1444

t = 38

RESPOSTA: D

Questão 2

(Fatec) Se a equação x² – 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é

a) 100

b) 25

c) 5

d) 1

e) 0

RESOLUÇÃO

Note que o enunciado nos traz que a raiz de multiplicidade é 2. Para que isso aconteça, a equação precisa ter uma única solução, ou seja, Δ = 0. Dessa forma, devemos calcular o valor de Δ na equação dada, considerando que a = 1, b = -10 e c = k.

Δ = b² – 4 . a . c

Δ = (-10)² – 4 . 1 . k

Δ = 100 – 4k

Como Δ = 0, então temos:

100 – 4k = 0

100 = 4k

k = 100 / 4

k = 25

RESPOSTA: B

Questão 3

(PUC-Rio) As duas soluções de uma equação do 2° grau são – 1 e 1 / 3. Então a equação é:

a) 3x² – x – 1 = 0

b) 3x² + x – 1 = 0

c) 3x² + 2x – 1 = 0

d) 3x² – 2x – 2 = 0

e) 3x² – x + 1 = 0

RESOLUÇÃO:

Para fazer o caminho inverso, ou seja, para descobrirmos a equação de 2º grau a partir das raízes, devemos lembrar que:

(x – S1) . (x – S2) = 0

onde S1 e S2 são as raízes que nos foram dadas no enunciado.

Assim:

(x – (- 1)) . (x – (1 / 3)) = 0

(x + 1) . (x – (1 / 3)) = 0

x² – (1 / 3)x + x – 1 / 3 = 0

x² + (2 / 3)x – 1 / 3 = 0

Note agora que basta multiplicar essa equação por 3 para chegarmos a uma resposta:

3x² + 2x – 1 = 0

RESPOSTA: C

Questão 4

(UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33 / 4. Esse número está compreendido entre:

a) 5 e 6

b) 1 e 5

c) 1/2 e 1

d) 3/10 e 1/2

e) 0 e 3/10

RESOLUÇÃO:

Para começar, vamos chamar de x o número cujo valor temos que descobrir. Seu inverso, portanto, é 1 / x. O enunciado nos diz que a soma x com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33 / 4. Dessa forma:

x + 2 . 1 / x = 33 / 4

(4x² + 8 = 33x) / 4x

4x² – 33x + 8 = 0

Agora que temos uma equação de 2º grau em mãos, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ =  b² – 4 . a . c

Assim:

Δ =  (-33)² – 4 . 4 . 8

Δ =  1089 – 128

Δ =  961

Substituindo em Bhaskara:

x = – (-33) ± √961 / 2. 4

x = 33 ± 31 / 8

x’ = 64 / 8

x’ = 8

x” = 2 / 8

x” = 1 / 4

Agora, sim: encontramos as duas raízes da equação. No entanto, repare que o enunciado pede apenas um número racional não inteiro. Portanto, devemos descartar o 8, por se tratar de um número inteiro. Nossa resposta, então, será o x”, que é 1/4 ou 2,5.

RESPOSTA: E

Questão 5

(Enem) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ – 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

a) 1,3 h.

b) 1,69 h.

c) 10,0 h.

d) 13,0 h.

e) 16,9 h.

RESOLUÇÃO:

Para que o volume seja igual, temos que considerar:

V1(t) = V2(t)

250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000

Isolando t, teremos:

250t³ – 150 t³ – 100t – 69t = 3000 – 3000

100t³ -169t = 0

t (100t² – 169) = 0

Sabemos que o resultado de uma multiplicação é zero quando um dos fatores também é zero. Logo, ou t = 0 (conforme o enunciado) ou 100t² – 169 = 0. Considerando a segunda opção, chegamos a:

100t² – 169 = 0

100t² = 169

t = ±√169 / 100

t = ±13 / 10

t = ±1,3

Como t representa tempo e essa grandeza só pode ser positiva, então t = 1,3.

RESPOSTA: A

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É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor como é o estilão das questões de equação do 2º grau que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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