Oi, tudo bem com vocês? Na aula de hoje, trago para alguns exercícios resolvidos sobre equação do 3º grau. Acompanhe e bons estudos!
Questão 1
(EEM–SP) Dada a equação x³ – 9x² + 26x + a = 0, determine o valor do coeficiente a para que as raízes dessa equação sejam números naturais sucessivos.
RESOLUÇÃO:
Note que o enunciado nos indica que as raízes da equação (x1, x2 e x3) devem ser números naturais consecutivos. Com isso, temos que x1 = b-1; x2 = b; x3 = b+1.
Seguindo as Relações de Girard, teremos:
x1 + x2 + x3 =an-1an
b-1 + b + b+1 = -91
3b = 9
b = 3
Uma vez que descobrirmos que b = 3, faremos:
p(3) = 0
x³ – 9x² + 26x + a = 0
3³ – 9 . 3² + 26 . 3 + a = 0
27 – 81 + 78 +a = 0
24 + a = 0
a = -24
Portanto, para que as raízes da equação sejam números naturais sucessivos, o valor do coeficiente a deve ser igual a -24.
Questão 2
(UEL) Uma das raízes do polinômio x³ + 2x² – 7x – 2 é 2. O produto das outras raízes é:
- a) 2.
- b) 1.
- c) 0.
- d) -1.
- e) -2.
RESOLUÇÃO:
Considerando as Relações de Girard, temos que o produto das três raízes da equação se dá por:
r1 . r2 . r3 = –da
Como sabemos que a = 1 e d = -2, basta substituirmos:
r1 . r2 . r3 = –(-2)1
r1 . r2 . r3 = 2
O enunciado nos dá que uma das raízes é 2. Assim:
r1 . r2 . 2 = 2
r1 . r2 = 22
r1 . r2 = 1
RESPOSTA: B
Questão 3
(ITA-SP) Os números a,b e c são raízes da equação x³ – 2x² + 3x – 4 = 0. Nessas condições, calcule o valor de 1a+1b+ 1c.
RESOLUÇÃO:
p(x) = x³ – 2x² + 3x – 4, e as raízes são a, b e c. Assim:
an = 1
an-1 = -2
an-2 = 3
a0 = -4
Portanto:
a + b + c =an-1an=-21= 2
ab + ac + bc =an-2an=31= 3
abc = (-1)n . a0an= (-1)³ .-41= 4
1a+1b+ 1c=bc + ac + ababc=34
Assim, temos que o valor que 1a+1b+ 1cnas condições do enunciado é igual a 34.
Questão 4
(FGV) O polinômio p(x) = x³ – 5x² – 52x + 224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é 1, então o produto da primeira e a segunda é:
- a) -224.
- b) -167.
- c) -56.
- d) 28.
- e) 5.
RESOLUÇÃO:
Note que, se a terceira raiz da equação for r, então a primeira deverá ser 2r, pois trata-se do dobro da terceira, como informa o enunciado.
Por sua vez, se a segunda raiz for s, então a soma de s com a primeira raiz é 1. Veja:
2r + s = 1
A soma das raízes de uma equação é dada por-ba. Assim:
2r + s + r = 5
3r + s = 5
Com isso, obtemos um sistema com as variáveis r e s:
- 2r + s = 1
- 3r + s = 5
Ao fazermos as contas, chegaremos a que r = 4 e s = -7. Portanto, a primeira raiz será:
2r = 2 . 4 = 8
E a segunda raiz, considerando que s = -7, será:
8 . (-7) = -56
RESPOSTA: C
Questão 5
(UFOP) Sabendo que -1 é raíz da equação polinomial 6x³ + 5x² + kx – 1=0 e denominando de a e b as outras raízes dessa equação, pode-se afirmar que a²+b² vale:
- a) 13/36.
- b) 1/6.
- c) 1.
- d) -1.
RESOLUÇÃO:
De acordo com as Relações de Girard, temos que:
a + b + (-1) = –56
a + b = 16
e que:
a . b . (-1) = 16
a . b = –16
Portanto:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a² + b² = (a + b)² – 2ab
Porém:
a + b = 16 e ab = –16
Assim:
a² + b² = (16)² – 2 . (-16)
a² + b² = 1336
RESPOSTA: A
É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor como é o estilo das questões de equação do 3º grau que você pode encontrar por aí. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
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