Função: o que é, tipos de funções e gráficos

Função: o que é, tipos de funções e gráficos

Fala, pessoal do Matemática Rio, tudo certo?

Neste post, vamos falar de um assunto importantíssimo no Ensino Médio e, consequentemente, na prova do Enem e em outros vestibulares: a função. Veremos o que é uma função, quais são os tipos de funções e os gráficos delas.

Preparado? Então, vem que o Procópio te ensina!

O que é uma função

A função nada mais é do que uma aplicação que faz a relação de elementos de dois conjuntos que não são vazios. Por exemplo: no caso de dois conjuntos X e Y, a função f deve relacionar cada elemento de X a um elemento de Y.

É possível representar uma função que relaciona os elementos de dado conjunto X com elemento de um dado conjunto Y de várias formas:

f: X → Y

Veja que, para cada elemento do conjunto X, há um elemento do conjunto Y. Mas, afinal, em que casos essa relação não é uma função? Quando um elemento do conjunto X se relaciona com mais de um elemento de Y, ou quando alguns elementos de X não se relacionarem com o conjunto Y.

Perceba que a função pega elementos do conjunto X e leva-os ao conjunto Y. Também podemos dizer que os elementos de Y são dados em função dos elementos de X. Assim, podemos representar Y por:

y = f(x)

Isso se lê “y é igual a f de x”.

 

Representação de uma função

Em uma função f: X → Y, o conjunto X é conhecido como domínio (D), e o conjunto Y é o contradomínio (CD). Em elemento de Y que se relaciona a um elemento A é chamado de imagem pela função. Reunindo todas as imagens de Y, temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do contradomínio.

Exemplo:

Observe os conjuntos X = {2, 4, 6, 8} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, com a função que determina a relação entre os elementos f: X → Y é x → 2x. Assim, f(x) = 2x e cada elemento do conjunto X passa a ser 2x no conjunto Y.

Perceba que o conjunto X = {2, 4, 6, 8} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de Y {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, que se relacionam aos elementos de X, são os elementos de saída.

Assim, para essa função:

  • O domínio é {2, 4, 6, 8};
  • O contradomínio é {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};
  • O conjunto imagem é {4, 8, 12, 16}

 

Tipos de função

Podemos classificar as funções em 3 tipos: função injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e função bijetora ou bijetiva. Vejamos mais sobre cada tipo:

  • Função injetora: neste tipo, cada elemento do domínio (x) tem associação a um único elemento da imagem f(x). Contudo, pode haver elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso ocorre, dizemos que o contradomínio e a imagem são diferentes. Exemplo:
    • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {x, y, z}
    • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c}
    • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c, d}
  • Função sobrejetora: nesta função, todos os elementos do domínio têm um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Quando isso acontece, imagem e contradomínio têm a mesma quantidade de elementos. Exemplo:
    • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {v, x, y, z}
    • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c}
    • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c}
  • Função bijetora: esta função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, porque cada elemento de x relaciona-se com um único elemento de f(x). Neste tipo, não acontece de dois número distintos terem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem têm mesma quantidade de elementos. Exemplo:
    • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {v, x, y, z}
    • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c, d}
    • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c, d}

Funções podem ser representadas de maneira gráfica. Para fazer isso, usamos duas coordenadas: x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é conhecida como abscissa e a y, como ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja os eixos x e y abaixo:

Durante o ensino médio, em geral estudamos 13 funções, que são:

  • Função constante;
  • Função par;
  • Função ímpar;
  • Função afim ou polinomial do primeiro grau;
  • Função linear;
  • Função crescente;
  • Função decrescente;
  • Função quadrática ou polinomial do segundo grau;
  • Função modular;
  • Função exponencial;
  • Função logarítmica;
  • Funções trigonométricas;
  • Função raiz.

 

Gráfico de uma função

A seguir, vamos ver os gráficos das principais funções:

Função polinomial do primeiro grau

f(x) = ax

Retas, cujo crescimento depende do sinal do coeficiente a

 

Função polinomial do segundo grau

f(x) = ax² Parábolas, cuja concavidade depende do sinal do coeficiente a

 

Função exponencial

f(x) = aˣ

Curvas exponenciais, cujo crescimento depende do valor de a

 

Funções trigonométricas

Função modular

|x| = x

Se x³ ≥ 0

|x| = -x se x < 0

Função logarítmica

f(x) = logbX

É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre Função. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


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