Aula Geometria Espacial

Geometria Espacial: retas e planos no espaço, ângulos diédricos e poliédricos, poliedros convexos, poliedros regulares

Olá, aluno, tranquilidade?

Neste post, vamos falar sobre geometria espacial e alguns conceitos relacionados, como retas e planos no espaço, ângulos diédricos e poliédricos, poliedros convexos e poliedros regulares.

E então, vamos lá? Vem comigo!

O que é geometria espacial

A geometria espacial é a análise de sólidos no espaço. Em outras palavras, é a geometria para objetos tridimensionais é diferente da geometria plana no sentido de que a segunda é o estudo de figuras bidimensionais. Ambas se baseiam no que chamamos de conceitos primitivos, que são ponto, reta, plano e espaço.

Com base nos elementos primitivos, são criados os sólidos geométricos, sendo os principais os poliedros: paralelepípedo, cubo e outros prismas, além dos sólidos de Platão (poliedros regulares).

Há também os corpos redondos, como cilindro, cone e esfera. Além de saber sobre esses sólidos, é importante compreender que os cálculos de volume de área total possuem fórmulas específicas para cada um dos tipos.

 

Retas e planos no espaço

Retas e planos são considerados paralelos quando não têm pontos em comum. Vamos pegar, por exemplo, uma reta r e um plano α que são paralelos. São representados por r//α. Também diz-se que r é paralela a α, ou então que α é paralelo a r.

Já retas e planos são ditos secantes ou concorrentes quando possuem um único ponto em comum. Se pegarmos a reta r e o plano α para esse exemplo, podemos dizer que r é concorrente a α ou que α é concorrente a r.

 

Ângulos diédricos e poliédricos

Quando dois semiplanos (ou seja, um plano que é dividido por uma reta) não são coplanares (ou seja, não estão no mesmo plano que outra) e têm uma origem numa mesma reta, eles criam uma figura geométrica conhecida como ângulo diédrico ou diedro.

Já quando temos três semirretas (retas que apresentam um ponto de origem) não coplanares com origem no mesmo ponto, elas determinam três ângulos que formam uma figura geométrica conhecida como ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Por fim, temos os ângulos poliédricos. Eles são formados quando temos um número n de semirretas (sendo n ≥ 3) de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semi-espaço (uma das duas partes em que um plano divide o espaço). A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

 

Poliedros

Os poliedros são sólidos fechados que têm faces poligonais, compostos por vértices, arestas e faces. Entre eles, podemos elencar: pirâmides, prismas e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro).

A seguir, falaremos sobre os poliedros divididos em dois grupos: os poliedros convexos e os poliedros regulares.

Poliedros convexos

Chamamos a um poliedro de convexo quando seu interior for uma região convexa do espaço. Em outras palavras, para que um poliedro seja considerado convexo, é preciso analisá-lo a partir de qualquer uma das suas faces; se ele se encontrar inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina, podemos chamá-lo de convexo. Veja o exemplo abaixo:

Já um poliedro que, em relação a duas de suas faces não esteja contido apenas em um semi-espaço é denominado côncavo.

 

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces forem polígonos regulares congruentes e quando em todos os seus vértices incidem o mesmo número de arestas. Além disso, os vértices de um poliedro regular dão origem a ângulos poliédricos congruentes.

Existem apenas 5 poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Vejamos abaixo as características de cada um:

  • Tetraedro regular: 4 faces triangulares, 4 vértices, 6 arestas;
  • Hexaedro regular: 6 faces quadrangulares, 8 vértices, 12 arestas;
  • Octaedro regular: 8 faces triangulares, 6 vértices, 12 arestas;
  • Dodecaedro regular: 12 faces pentagonais, 20 vértices, 30 arestas;
  • Icosaedro regular: 20 faces triangulares, 12 vértices 30 arestas.

 

Fórmulas de poliedros

As principais fórmulas da geometria espacial dizem respeito aos cálculos da área total e do volume de cada um deles. Cada fórmula varia conforme o sólido calculado. Vejamos os principais deles:

Cubo

At = 6 . a²

V = a³

Sendo:

a → medida da aresta

At → área total

V → volume

 

Paralelepípedo

At = 2ab + 2ac + 2bc

V = a . b . c

Sendo:

a → medida da aresta a

b → medida da aresta b

c → medida da aresta c

At → área total

V → volume

 

Prisma

At = 2Ab + Al

V = Ab . h

Sendo:

Ab → área da base

Al → área lateral

h → altura

At → área total

V → volume

 

Pirâmide

At = Ab + Al

V = ⅓ . Ab . h 

Sendo:

Ab → área da base

Al → área lateral

h → altura

At → área total

V → volume

 

Cilindro

At = 2πr (r+h)

V = πr² . h

Sendo:

π → pi (aproximadamente 3,14)

r → raio da circunferência

h → altura

At → área total

V → volume

 

Cone

At = πr (g + r)

V = (Ab . h) / 3

Sendo:

π → pi (aproximadamente 3,14)

r → raio da circunferência

h → altura

g → geratriz (segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone)

At → área total

V → volume

 

Esfera

At = 4πr²

V = 4πr³ / 3

Sendo:

π → pi (aproximadamente 3,14)

r → raio da circunferência

At → área total

V → volume

 

 

É isso aí, estudante! Espero que você tenha compreendido um pouco melhor sobre as Geometria Espacial. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


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