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Identidades trigonométricas básicas e equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

Você sabe o que é identidade trigonométrica? E equações e inequações envolvendo funções trigonométricas? Esses são conceitos importantes que precisamos estudar na Matemática. Então, bora lá.

Introdução sobre identidades trigonométricas básicas e equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

Uma equação é toda e qualquer igualdade entre duas sentenças, de forma que se procura definir o valor de uma (ou mais) incógnita por meio de operações entre os termos da equação.

 

Identidades trigonométricas básicas

Ao estudarmos funções trigonométricas que pertencem ao mesmo arco, usamos as seguintes relações trigonométricas básicas:

As relações trigonométricas básicas formam outras expressões, que são muito importantes e aplicáveis nos casos que envolvem funções de um mesmo arco. Confira abaixo as relações decorrentes das relações trigonométricas básicas: 

Toda igualdade que é verificável e envolve funções trigonométricas é chamada de identidade trigonométrica. Vamos ver um exemplo:

 

Equações trigonométricas

Uma equação trigonométrica é aquela que envolve ao menos uma razão trigonométrica. A incógnita é um arco (ângulo) a ser definido. As equações trigonométricas vão das mais simples às mais complexas, mas todas podem ser reduzidas a equações trigonométricas que conhecemos como as equações fundamentais:

  • sin(x) = sin(a)
  • cos(x) = cos(a)
  • tan(x) = tan(a)

Para partir de uma equação trigonométrica mais complexa e chegar às equações fundamentais, é importante fazer a utilização de fórmulas trigonométricas, como a relação fundamental da trigonometria:

  • sin²(a) + cos²(a) = 1

Algumas relações secundárias, além da soma e diferença de dois arcos, e também as fórmulas que envolvem arco duplo. Contudo, no geral, para chegar a uma equação fundamental, o ideal é sempre tentar reescrever a equação a ser solucionada utilizando somente o seno ou cosseno da incógnita que queremos determinar.

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Ou seja, o centro coincide com o centro do plano cartesiano – C(0,0).

Se a for a medida de um ângulo no círculo trigonométrico, o valor do sin(a) corresponde à ordenada do ponto determinado por a:

Já o valor de cos(a) equivale à abscissa do ponto definido pelo ângulo a:

E, finalmente, a tan(a) é o tamanho do segmento do segmento AT indicado abaixo, em que T é o ponto de encontro entre a reta t e o prolongamento do segmento OP:

Com base nisso, pode-se encontrar as soluções das equações fundamentais:

  • Para sin(x) = sin(a), temos que os arcos x e a vão ter o mesmo valor do seno se:
    • x = a + 2kπ OU
    • x = π − a + 2kπ
  • Para cos(x) = cos(a), temos que os arcos x e a terão o mesmo valor do cosseno se:
    • x = a + 2kπ OU
    • x = −a + 2kπ
    • Ou seja, x = ±a + 2kπ
  • Para tan(x) = tan(a), temos que os arcos x e a terão o mesmo valor da tangente se:
    • x = a + 2kπ OU
    • x = π + a + 2kπ
    • Em que se concluiu que x = a + kπ

O termo 2kπ aponta que, a partir do ponto P que define o arco a, damos k voltas em torno de P, porque é evidente que os arcos têm o mesmo valor das suas funções trigonométricas.

 

Inequações trigonométricas

As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções que as equações. A resposta, entretanto, precisa levar em conta o círculo trigonométrico. Por exemplo:

  • Para o seno: vamos supor que, depois da aplicação dos algoritmos propostos chegue-se ao seguinte resultado: sin(a) ≥ √2/2. Nosso ângulo de referência será a = π/4. Mais uma vez, usando a redução acima, teremos como outra solução: a = 3π/4. Observando o círculo trigonométrico, tendo assinalado a = π/4 e a = 3π/4, temos:

Para que o seno seja maior ou igual, precisa estar entre 45º e 135º, então:

  • Para o cosseno: cos(a) ≥ √2/2. O círculo trigonométrico ficará a = π/4. O outro valor de referência é a = 7π/4


É isso aí, aluno! Espero que você tenha entendido as identidades trigonométricas básicas, equações e inequações envolvendo funções trigonométricas. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

 

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