Lei dos senos e dos cossenos: resumo e exercícios

E aí, galera, tudo bem?

Tem muitos estudantes que só de escutarem as palavras seno e cosseno já se arrepiam. Contudo, não é preciso ter medo desse conteúdo: com atenção à teoria e bastante prática, com certeza você vai conseguir aprender e tirar as provas de letra!

Vamos nessa?

Lei dos Senos

A Lei dos Senos é uma lei matemática que afirma que, em um triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo será sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. Esse teorema aponta que, em um mesmo triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto é sempre constante.

Assim, em um triângulo ABC com lados a, b e c, a Lei dos Senos vai indicar as seguintes relações: 

 

Vamos a um exemplo para ver se compreendemos bem:

Vamos calcular a medida dos lados AB e BC do triângulo abaixo em relação da medida b do lado AC:

 

Conforme a Lei dos Senos, podemos determinar a seguinte relação:

Assim, AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Os valores dos senos eu tirei da tabela de razões trigonométricas. Na tabela, podemos sempre achar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente). Nos cálculos da trigonometria, os ângulos 30º, 45º e 60º são os mais utilizados e, por essa razão, são conhecidos como ângulos notáveis. Veja abaixo o quadro com os valores para esses ângulos:

Relações Trigonométricas  30º 45º 60º
Seno 1/2 √2/2 √3/2
Cosseno √3/2 √2/2 1/2
Tangente √3/3 1 √3

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma lei matemática usada em questões que estão relacionadas a triângulos não retângulos. Em outras palavras, são triângulos que não tem nenhum ângulo de 90°. Como não têm ângulo reto, as relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente) não podem ser aplicadas nestes casos, e é por isso que se utiliza a Lei dos Cossenos.

Confira a seguir a Lei dos Cossenos usada para encontrar lados e ângulos:

a² = b² + c² – 2·b·c·cos a

b² = a² + c² – 2·a·c·cos b

c² = a² + b² – 2·a·b·cos c

Vamos ver se entendemos bem com um exemplo:

Vamos calcular o valor do cosseno do ângulo x do triângulo abaixo:

a² = b² + c² – 2·b·c·cos x

7² = 5² + 6²  – 2· 5 · 6 ·cos x

49 = 25 + 36 – 60cos x

49 = 61 – 60cos x

-12 = -60cos x

-12/-60 = cos x

cos x = ⅕ 

Exercícios de Vestibular

Agora, vamos a alguns exercícios de vestibular para você ficar fera no assunto:

Exercício 1

(Mackenzie-SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:

  1. a) 2,3 km
  2. b) 2,1 km
  3. c) 1,9 km
  4. d) 1,4 km
  5. e) 1,7 km

Resolução:

O objetivo aqui é determinar a medida do segmento AB. Vamos “quebrar a questão em passos para facilitar:

Passo 1: Usar a lei senos para descobrir a medida de AB

Lei dos Senos: as medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos de seus ângulos opostos.

Passo 2: determinar o ângulo C.

A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é igual a 180º. Logo:

30° + 105° + C = 180°

135° + C = 180°

C = 180° – 135°

C = 45°

Passo 3: aplicar o valor de C na lei dos senos

Passo 4: aproximar o valor da raiz quadrada e usar a escala

√4 ≅ 1,4

12 . 1,4 = 16,8

A escala diz 1:10000. Então, vamos multiplicar:

16,8 . 10000 = 168.000 cm

Passo 5: passar de cm para km

168.000 cm / 100.000 = 1,68 km

Conclusão: como a distância calculada é de 1,68 km, a alternativa que mais se aproxima é a alternativa e) 1,7 km.

Resposta: alternativa e) 1,7 km.

Exercício 2

(UNESP-SP) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura.

Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO = 10 cm, que a distância de P a M é = 14 cm e que o ângulo PÔM mede 120°, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é 

Chamando a de 14 cm, c de 10 cm, e a distância MO a ser descoberta de b, temos que:

a² = b² + c² – 2·b·c·cos a

14²= x² + 10² – 2 · x · 10 · cos 120°

196 = x² + 100 + 20x · (-1/2)

96 = x² + 10x

x² + 10x – 96 = 0

a = 1

b = 10

c = -96

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara:

Como um número negativo não serve, a distância MO é de 6 cm.

Resposta: 6 cm


É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido melhor a Lei dos Senos e dos CossenosSe quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

 

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