Logaritmos e Potências

Nesta aula, vamos fazer uma revisão geral sobre logaritmos e potências. Vou mostrar para vocês três propriedades fundamentais de cada um deles e como relacioná-las. Isso vai fazer com que essa matéria faça muito mais sentido para você e torne as questões mais fáceis.

Propriedades das potências

São três propriedades:

1ª propriedade:

Quando temos uma multiplicação de potências de mesma base (nesse caso, a), devemos conservar a base e somar os expoentes (aqui, m e n). Portanto:

2ª propriedade:

Importante: neste caso, a ≠ 0, para que a divisão seja possível. Isso posto, quando temos uma divisão de potências de bases iguais, devemos manter a base e subtrair os expoentes (o de cima menos o de baixo). Assim:

3ª propriedade:

Veja que, aqui, temos uma base exponencial. Ou seja, teremos uma multiplicação de potências de bases iguais. Nesse caso, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Então:

Propriedades dos logaritmos

Antes de vermos as propriedades dos logaritmos, temos que entender a condição de existências deles. Veja:

Esse logaritmo só vai existir se:

  • a > 0
  • a ≠ 1
  • b > 0

Vamos lembrar que podemos “desmontar” o logaritmo da seguinte forma:

Isso quer dizer que, quando dizemos que temos o logaritmo de a na base b (é assim que devemos ler essa fórmula), significa que estamos tratando do expoente x que vai transformar a base a no valor b.

Exemplo:

c = 3

Ou seja: o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3. Em outras palavras, o 3 é o expoente que transforma a base 2 no 8.

Portanto, sabendo que o resultado do algoritmo é um expoente, tudo o que vimos sobre potenciação pode ser aplicado aqui também. Observe as três propriedades:

1ª propriedade:

Repare que tanto b quanto c compartilham a base a. Lembrando que, quando multiplicamos potências de bases iguais, devemos somar os expoentes. Portanto:

2ª propriedade:

Lembrando das propriedades das potências, então o logaritmo de uma divisão é igual à subtração dos logaritmos – quando eles estão na mesma base. Note:

3ª propriedade:

Quando temos um logaritmando com expoente (nesse caso, m), devemos jogar esse expoente para a frente do logaritmo, multiplicando-o. Observe:

Mas como nosso objetivo não é decorar, mas aprender, vamos ver por que isso acontece. Lembre-se de que quando temos uma potência elevada a outro expoente (3ª propriedade das potências), devemos multiplicar os expoentes.

Como vimos, logaritmo é sinônimo de expoente. E é por isso que vamos jogar o expoente m para multiplicar o logaritmo.


Exercícios de fixação

(Enem) Nas informações veiculadas nos órgãos de comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função M = log (A x f) + 3,3. Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a 7,9.

Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se A = 1 000 micrômetros e f = 0,2 hertz.

Use -0,7 como aproximação para log (0,2).

Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi

  1. a) registrado, mas não percebido pelas pessoas.
  2. b) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.
  3. c) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
  4. d) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.
  5. e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.

RESOLUÇÃO:

Vamos recuperar a fórmula que o enunciado nos deu:

M = log (A x f) + 3,3

Note que, quando não é dada a base do logaritmo, isso significa que ela vale 10, ok?

Repare também que a própria questão já nos deu A = 1000 e f = 0,2. Então, para resolver esse exercícios, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos:

M = log (1000 . 0,2) + 3,3

Perceba que temos o logaritmo de um produto. O que devemos fazer quando isso acontece? Vamos separá-lo em dois logaritmos e somá-los, tornando nossa vida mais fácil:

M = log 1000 + log 0,2 + 3,3

Lembrando que a base ali é 10, podemos escrever o 1000 como 10³.

M = log 10³ + log 0,2 + 3,3

Agora, podemos aplicar outra propriedade e jogar o expoente 3 para frente do logaritmo, multiplicando-o:

M = 3 . log 10 + log 0,2 + 3,3

Observe que a questão nos pediu para considerar o log 0,2 como -0,7.

M = 3 . log 10 – 0,7 + 3,3

Como a base é 10, temos que lembrar que, quando base e logaritmando são iguais, o logaritmo vale 1. Ficou fácil:

M = 3 . 1 – 0,7 + 3,3

M = 5,6

Olhando a tabela temos que:

RESPOSTA: C


Para aprender mais sobre logaritmos e potências, assista ao meu aulão:

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