Nesta aula, vamos fazer uma revisão geral sobre logaritmos e potências. Vou mostrar para vocês três propriedades fundamentais de cada um deles e como relacioná-las. Isso vai fazer com que essa matéria faça muito mais sentido para você e torne as questões mais fáceis.
Propriedades das potências
São três propriedades:
1ª propriedade:
Quando temos uma multiplicação de potências de mesma base (nesse caso, a), devemos conservar a base e somar os expoentes (aqui, m e n). Portanto:
2ª propriedade:
Importante: neste caso, a ≠ 0, para que a divisão seja possível. Isso posto, quando temos uma divisão de potências de bases iguais, devemos manter a base e subtrair os expoentes (o de cima menos o de baixo). Assim:
3ª propriedade:
Veja que, aqui, temos uma base exponencial. Ou seja, teremos uma multiplicação de potências de bases iguais. Nesse caso, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Então:
Propriedades dos logaritmos
Antes de vermos as propriedades dos logaritmos, temos que entender a condição de existências deles. Veja:
Esse logaritmo só vai existir se:
- a > 0
- a ≠ 1
- b > 0
Vamos lembrar que podemos “desmontar” o logaritmo da seguinte forma:
Isso quer dizer que, quando dizemos que temos o logaritmo de a na base b (é assim que devemos ler essa fórmula), significa que estamos tratando do expoente x que vai transformar a base a no valor b.
Exemplo:
c = 3
Ou seja: o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3. Em outras palavras, o 3 é o expoente que transforma a base 2 no 8.
Portanto, sabendo que o resultado do algoritmo é um expoente, tudo o que vimos sobre potenciação pode ser aplicado aqui também. Observe as três propriedades:
1ª propriedade:
Repare que tanto b quanto c compartilham a base a. Lembrando que, quando multiplicamos potências de bases iguais, devemos somar os expoentes. Portanto:
2ª propriedade:
Lembrando das propriedades das potências, então o logaritmo de uma divisão é igual à subtração dos logaritmos – quando eles estão na mesma base. Note:
3ª propriedade:
Quando temos um logaritmando com expoente (nesse caso, m), devemos jogar esse expoente para a frente do logaritmo, multiplicando-o. Observe:
Mas como nosso objetivo não é decorar, mas aprender, vamos ver por que isso acontece. Lembre-se de que quando temos uma potência elevada a outro expoente (3ª propriedade das potências), devemos multiplicar os expoentes.
Como vimos, logaritmo é sinônimo de expoente. E é por isso que vamos jogar o expoente m para multiplicar o logaritmo.
Exercícios de fixação
(Enem) Nas informações veiculadas nos órgãos de comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função M = log (A x f) + 3,3. Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a 7,9.
Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se A = 1 000 micrômetros e f = 0,2 hertz.
Use -0,7 como aproximação para log (0,2).
Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi
- a) registrado, mas não percebido pelas pessoas.
- b) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.
- c) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
- d) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.
- e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.
RESOLUÇÃO:
Vamos recuperar a fórmula que o enunciado nos deu:
M = log (A x f) + 3,3
Note que, quando não é dada a base do logaritmo, isso significa que ela vale 10, ok?
Repare também que a própria questão já nos deu A = 1000 e f = 0,2. Então, para resolver esse exercícios, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos:
M = log (1000 . 0,2) + 3,3
Perceba que temos o logaritmo de um produto. O que devemos fazer quando isso acontece? Vamos separá-lo em dois logaritmos e somá-los, tornando nossa vida mais fácil:
M = log 1000 + log 0,2 + 3,3
Lembrando que a base ali é 10, podemos escrever o 1000 como 10³.
M = log 10³ + log 0,2 + 3,3
Agora, podemos aplicar outra propriedade e jogar o expoente 3 para frente do logaritmo, multiplicando-o:
M = 3 . log 10 + log 0,2 + 3,3
Observe que a questão nos pediu para considerar o log 0,2 como -0,7.
M = 3 . log 10 – 0,7 + 3,3
Como a base é 10, temos que lembrar que, quando base e logaritmando são iguais, o logaritmo vale 1. Ficou fácil:
M = 3 . 1 – 0,7 + 3,3
M = 5,6
Olhando a tabela temos que:
RESPOSTA: C
Para aprender mais sobre logaritmos e potências, assista ao meu aulão:
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