o que a geometria analitica estuda

O que a geometria analítica estuda?

Fala alunos, tudo tranquilo?

Se tem uma disciplina que dá nó na cabeça de muitos alunos é a geometria analítica. Essa matéria é responsável pelo estudo das geometrias plana e espacial por meio de processos algébricos.

Com geometria analítica, foi possível entender os conceitos da geometria clássica de uma nova maneira, com formas de demonstração, uso e criação de propriedades que ainda não tinham sido pensadas.

Bom, então vamos nos aprofundar mais nesse conteúdo? Acompanhe e boa leitura!

O que a geometria analítica estuda?

Todo objeto matemático, figura geométrica, forma e outros que estejam no espaço podem ser representados geometricamente por meio de um desenho ou algebricamente por uma fórmula matemática. Essa fórmula é o que constitui a geometria analítica e a conecta à álgebra.

Podemos classificar a geometria analítica conforme os seguintes pontos:

  • Estudo analítico do ponto
  • Estudo analítico da reta
  • Estudo analítico da circunferência
  • Vetores
  • Cônicas

As bases da geometria analítica

A primeira coisa a fazer para estudar geometria euclidiana (plana e espacial) por meio de processos algébricos é desenvolver modos de colocar a álgebra nessa matéria. Para isso, é preciso usar a reta numérica para que pontos específicos representem números reais únicos.

Dessa forma, a distância entre dado ponto da reta numérica e sua origem é um número real relativo à localização do ponto na reta. Esse número real pode ser chamado de coordenada do ponto.

Considerando duas retas perpendiculares que se encontram na origem, pode-se achar a localização de qualquer ponto no plano formado por ela usando-se um par ordenado – ou seja, o conjunto de duas ordenadas, cada uma relacionada a uma das retas que determinaram o plano.

A mesma coisa funciona para 3 retas ortogonais que se encontrem em suas origens; elas formam um espaço tridimensional, onde pode-se definir o local de qualquer ponto por meio de termos ordenados.

O plano que descrevemos anteriormente, formado por duas retas perpendiculares que se encontram em suas origens, é chamado de plano cartesiano. Esse plano é o primeiro espaço em que estudamos a geometria analítica.

Tanto na reta quanto no plano e no espaço, pode-se definir a distância entre dois pontos. Essa distância fica determinada como o comprimento do segmento de reta que os liga. Por exemplo, vamos pensar em um plano cartesiano com os pontos A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0). Esses pontos formam um quadrado, como vemos abaixo:

Os ângulos internos da figura formada pelos pontos dados são retos, e a distância entre dois pontos consecutivos é sempre 1. 

Conceitos importantes da geometria analítica

Agora que vimos as bases da geometria analítica, vamos entrar em alguns dos conceitos importantes para essa área de estudo:

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A (xₐ, yₐ) e B (xb, yb) é determinada pelo segmento de reta AB, muitas vezes chamado de dAB. Descubra abaixo como obter o tamanho desse segmento – em outras palavras, a distância.

Perceba que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Assim, para descobri-la, vamos usar o teorema de Pitágoras.

Coordenadas do ponto médio

Na geometria plana, o ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta AB em duas partes igual – em outras palavras, ao meio. Na geometria análitica, as coordenadas do ponto médio são definidas por:

A coordenada do ponto médio, ou seja, do ponto M, é determinada por:

Condição de alinhamento de três pontos

Considere 3 pontos diferentes, A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Chamaremos os pontos de colineares se o determinante abaixo for igual a zero. Também pode-se dizer que eles são colineares caso exista uma seta que os contenha.


É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor o que a geometria analítica estuda. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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