Paralelismo e perpendicularismo de retas no plano

Quando falamos de posicionamento relativo entre retas no mesmo plano, existem dois tipos de posição: paralelismo e perpendicularismo.

Mas, o que significa isso? É o que veremos neste blog. Acompanhe e boa leitura!

Paralelismo e perpendicularismo de retas no plano

Paralelismo

Paralelismo é o estudo relacionado à posição relativa entre retas e planos, e foca nas propriedades que resultam dessas posições e das interações entre esses elementos.

Afirmamos que duas retas são paralelas quando estão contidas em um mesmo plano e não possuem ponto em comum entre elas. De forma gráfica, essas retas são representadas por duas linhas distintas com mesma direção e sentido. Como sabemos, as retas são representadas por linhas e recebem uma letra minúscula para denominá-las.

Também podemos dizer que duas retas são paralelas se, e somente se, tiverem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais. Em linguagem matemática, o enunciado acima fica assim:

O coeficiente angular da reta, também chamado de declividade da reta, é representado pelo número m, que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação:

m = tan 𝛼

As retas são definidas pelas funções afins (função de primeiro grau), representadas pela equação geral ax + by + c = 0 ou pela equação reduzida y = mx + n. No primeiro caso, o coeficiente angular é representado por:

Já na representação reduzida, o coeficiente angular é igual a m.

Mas, quando você não tiver a equação pronta, precisará descobrir o coeficiente angular de outra maneira. E uma das formas de fazer isso é conhecendo dois pontos de uma reta:

Assim:

E é assim que chegamos à equação fundamental da reta. Veja:

Quando duas retas são paralelas, qualquer reta que está contida no mesmo plano que corte a primeira também vai cortar a segunda, formando os mesmos ângulos correspondentes, como representado na figura abaixo:

Paralelas distintas e paralelas iguais

Além do coeficiente angular, temos na equação reduzida da reta (y = mx + n)  o coeficiente linear, determinado por n. E é este coeficiente que vai determinar se duas retas paralelas são distintas ou iguais.

Se as retas paralelas possuem coeficientes lineares diferentes, elas são paralelas distintas. Se as retas paralelas possuem coeficientes lineares iguais, elas são paralelas iguais.

Veja no plano cartesiano a diferença (retas paralelas distintas e retas paralelas iguais, respectivamente):

O primeiro caso é dado pelas equações:

r: y = 4x – 4 e s: y = 4x – 1

Já o segundo caso é dado pelas equações:

p: y = -2x + 3 e q: y= -2x + 3

 

Perpendicularismo

O perpendicularismo é outra posição relativa entre retas, e ele assume características que o diferenciam do paralelismo. No caso do perpendicularismo entre retas, diz-se que duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não são perpendiculares quando formam um ângulo reto em seu ponto de encontro.

No estudo da geometria analítica, também podemos complementar o conceito acima dizendo que duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos. Na linguagem matemática, fica assim:

 

Exercícios

Exercício 1

Analise se as retas r (y = 3x – 2) e s (6x – 2y + 5 = 0) são paralelas.

Para isso, precisamos descobrir os coeficientes angulares das retas r e s. Vamos descobrir primeiro o da reta r. Como a equação da reta r já está reduzida, conseguimos identificar que mr = 3. Agora, vamos descobrir o coeficiente angular da reta s.

6x – 2y + 5 = 0
2y = 6x + 5
y = 3x + 5/2

Assim, descobrimos que ms = 3. Como mr = ms, então podemos dizer que elas são retas paralelas.

 

Exercício 2

Determine a posição da reta r: x + 2y – 6 = 0 em relação à reta s: y = -x/2 – 5.

Vamos começar pelos coeficientes angulares:

r: x + 2y – 6 = 0

mr = -a/b
mr = -½

s: y = -x/2 – 5

ms = -½

Agora, vamos aos coeficientes angulares:

nr = 3

ns = -5

Ou seja, estas retas são paralelas e distintas.

 

Exercício 3

Verifique se as retas r: 2x + 3y – 6 = 0 e s: 3x – 2y + 1 = 0 são perpendiculares.

Vamos começar encontrando o coeficiente angular de r:

mr = -a/b
mr = -⅔ 

Agora, o coeficiente angular de s:

ms = -a/b
ms = -3/-2
ms = 3/2

 mr . ms = -2/3 . 3/2 = -1

Logo, r e s são retas perpendiculares.


É isso aí, aluno! Espero que você tenha entendido melhor o paralelismo e o perpendicularismo de retas no planoSe quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

 

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