Polinômios: Adição, subtração e multiplicação

Polinômios: Adição, Subtração e Multiplicação

Fala, pessoal do Matemática Rio, tudo bem?

Neste post, vamos falar sobre polinômios e algumas operações que podemos fazer com eles: adição, subtração e multiplicação.

Pronto para aprender? Então vem que o Procópio ensina você!

O que é polinômio?

Polinômios podem ser definidos como expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras são usadas pois simbolizam valores que não são conhecidos na expressão.

Os polinômios fazem parte de uma área da Matemática que se chama Álgebra, que se relaciona ao uso de letras que representam números, e possui operações aritméticas. Assim, podemos usar os polinômios para realizar operações aritméticas como adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.

Além de serem importantes na Álgebra, os polinômios também têm um espaço grande na Geometria. Nesse campo da Matemática, são usados quando é preciso calcular expressões que envolvam valores desconhecidos.

 

Grau de um polinômio

O grau dos polinômios é dado pelos expoentes da parte literal, ou seja, das letras. Para achar o grau dos polinômios, é preciso somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio.

Exemplo:

3x² + y

O expoente do primeiro termo é 2 e do segundo termo é 1. Como o maior é 2, então o grau do polinômio é 2.

x⁴y³ + 5x⁶y⁶ – xy⁷

Vamos somar os expoentes de cada termo:

x⁴y³ → 4 + 3 = 7

5x⁶y⁶ → 6 + 6 = 12

xy⁷ → 1 + 7 = 8

Como a maior soma é 12, o grau do polinômio é 12.

Um polinômio nulo é aquele que tem os coeficientes todos iguais a zero. Quando isso acontece, o grau do polinômio não é definido.

 

Adição de polinômio

Para entendermos como fazer a adição de polinômios, vamos analisar um exemplo. Considere os polinômios x² + 9x – 10 e -3x⁴ + 5x – 6. Vamos fazer a adição entre eles.

O primeiro passo é eliminar os parênteses, realizando o jogo de sinais:

(-x² + 9x – 10) + (-3x⁴ + 5x – 6)

-x² + 9x – 10 – 3x⁴ + 5x – 6

Agora, vamos reduzir os termos semelhantes:

-x² + 9x – 10 – 3x⁴ + 5x – 6

-x² + 14x – 16 – 3x⁴

O próximo passo é ordenar de forma decrescente conforme a potência:

-x² + 14x – 16 – 3x⁴

-3x⁴ – x² + 14x – 16

Pronto, aprendemos a fazer a soma de polinômios!

 

Subtração de polinômio

A lógica da subtração de polinômios é basicamente a mesma usada na adição, então vamos usar os mesmos polinômios da adição para fazer a subtração. Os passos são quase os mesmos, e o que muda é o sinal entre os dois polinômios.

Começamos eliminando os parênteses, realizando o jogo de sinal:

(-x² + 9x – 10) – (-3x⁴ + 5x – 6)

-x² + 9x – 10 + 3x⁴ – 5x + 6

Depois, reduzimos os termos semelhantes:

-x² + 9x – 10 + 3x⁴ – 5x + 6

-x² + 4x – 4 + 3x⁴

Por fim, ordenamos de forma decrescente de acordo com a potência:

-x² + 4x – 4 + 3x⁴

3x⁴ – x² + 4x – 4

Já sabemos fazer a subtração de polinômios!

 

Multiplicação de polinômio

A multiplicação de polinômios pode ser dividida em dois casos: multiplicação de polinômio por monômio ou de polinômio por polinômio. Vamos analisar ambos os casos:

Multiplicação de polinômio por monômio

Para compreendermos como funciona, veja o exemplo:

(2x³) * (3x² + 4x³ – 5x)

Começamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

(2x³) * (3x² + 4x³ – 5x)

6x⁵ + 8x⁶ – 10x⁴

Agora, vamos ordenar pela ordem decrescente segundo a potência:

6x⁵ + 8x⁶ – 10x⁴

 8x⁶ + 6x⁵ – 10x⁴

 

Multiplicação de polinômio por polinômio

Na multiplicação de polinômio por polinômio, também vamos aplicar a propriedade distributiva. Confira o exemplo:

(x – 2) * (3x² + 4x – 8)

3x² * (x – 2) + 4x * (x – 2) – 8 * (x – 2)

(3x³ – 6x²) + (4x² – 8x) – (8x – 16)

3x³ – 6x² + 4x² – 8x – 8x + 16

Hora de reduzirmos os termos semelhantes:

3x³ – 6x² + 4x² – 8x – 8x + 16

3x³ – 2x² – 16x + 16

Assim, em ambos os casos de multiplicação de polinômios, usamos a propriedade distributiva.

 

Exercício

Abaixo, selecionei um exercício para você praticar. Tente fazer sozinho antes de conferir o gabarito!

(ENEM) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t3 – 100t + 3000 e V2(t) = 150t3 + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

  1. a) 1,3 h.
  2. b) 1,69 h.
  3. c) 10,0 h.
  4. d) 13,0 h.
  5. e) 16,9 h.

Resposta: alternativa a) 1,3 h.

É isso aí, estudante! Espero que você tenha compreendido um pouco melhor os polinômios e algumas de suas operações. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


SAIBA MAIS

👉 ENEM: 5 passos para entender e detonar na prova mais esperada do ano
👉 MMC e MDC – Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum
👉 Baixe agora: 10 temas que caem todos os anos no ENEM

Me acompanhe nas redes sociais: curta a minha página no Facebook, me siga no Instagram, se inscreva no Youtube.

Compartilhar:

Deixe uma resposta