Você já ouviu falar das relações entre coeficientes e raízes? Esses estudos foram aprofundados pelo matemático Albert Girard, que determinou as relações entre as equações do segundo grau e suas raízes.
Essas relações nos permitem obter a equação original a partir das raízes dessa equação; em alguns casos, também é possível obter mentalmente as raízes de algumas equações, usando essas relações.
Bora entender melhor esse conceito?
Relações entre coeficientes e raízes
Em uma equação de segundo grau, as raízes que resultam das operações matemáticas dependem do valor do discriminante. As situações decorrentes são as seguintes:
∆ > 0 → a equação tem duas raízes reais e diferentes;
∆ = 0 → a equação tem uma única raiz real;
∆ < 0 → a equação não tem raízes reais.
Em matemática, o discriminante da equação do segundo grau é em geral representado pelo símbolo delta (∆).
Quando existem raízes nessa equação no formato ax² + bx + c = 0, elas são calculadas conforme as expressões matemáticas:
Há uma relação entre a soma e o produto dessas raízes, que é dada pelas fórmulas a seguir:
Soma das raízes (S):
Produto das raízes (P)
Vamos a alguns exemplos para compreender melhor:
Exemplo 1
Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x² + x – 2 = 0. Nesta equação, temos a = 10, b = 1 e c = -2.
A soma das raízes é 
, que é S = -1/10. O produto das raízes é igual a 
, que é P = -2/10 = -1/5.
Exemplo 2
Determine a soma e o produto das raízes da equação x² – 7x + 10 = 0. Nesta equação, temos a = 1, b = -7 e c = 10.
A soma das raízes é , que é S = -(-7)/1 = 7. O produto das raízes é igual a , que é P = 10/1 = 10.
Se nos basearmos no resultado acima, vemos que as raízes dessa equação são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 x 5 = 10.
Construção de equações do segundo grau com base em suas raízes
Por meio da fórmula geral de resolução, também chamada de fórmula de Bhaskara, saímos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, baseados nas relações de Girard, vemos como podemos chegar à equação a partir das raízes.
Como já sabemos, a forma reduzida deste tipo de equação ax² + bx + c = 0. Ao dividirmos os membros da equação por a, temos:
Isso vai levar à soma e produto que vimos acima:
e 
Fazendo a substituição, temos:
Assim, a equação x² – Sx + P = 0, em que os coeficientes S e P representam a soma e o produto das raízes, nos possibilita recriar a equação que tem essas raízes.
Exemplo
Para fixar o conteúdo, vamos a um exemplo. Vamos identificar as raízes de uma equação e, a partir delas e utilizando as relações de Girard, vamos chegarmos de novo à equação.
A equação é x² – 5x – 24 = 0. Ache as raízes e reconstrua a equação original.
Primeiramente, vamos achar as raízes da equação x’ e x”:
Encontramos duas raízes reais e diferentes, o que significa que Δ > 0. Veja que, nesta equação, Δ = 121.
Agora que temos as raízes, podemos reconstruir a equação original por meio das relações de Girard.
S = x’ + x” = 8 + (-3) = 5
P = x’ . x” = 8 . (-3) = -24
Reconstruindo, temos:
x² – Sx + P = 0
x² – 5x – 24 = 0
Assim, partindo da equação x² – 5x – 24 = 0, achamos as raízes x’ = 8 e x” = -3 e, partindo da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.
É isso aí, aluno! Espero que você tenha entendido as relações entre coeficientes e raízes. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
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Acho muito interessante o estudo das equações e funções funções e como mostrado na demostração da soma das raízes um coisa que quase ninguém percebe é quando delta é zero além de ter um única raiz real ela pode ser encontrada simples usando -b/2a