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Relações entre coeficientes e raízes

Você já ouviu falar das relações entre coeficientes e raízes? Esses estudos foram aprofundados pelo matemático Albert Girard, que determinou as relações entre as equações do segundo grau e suas raízes.

Essas relações nos permitem obter a equação original a partir das raízes dessa equação; em alguns casos, também é possível obter mentalmente as raízes de algumas equações, usando essas relações.

Bora entender melhor esse conceito?

Relações entre coeficientes e raízes

Em uma equação de segundo grau, as raízes que resultam das operações matemáticas dependem do valor do discriminante. As situações decorrentes são as seguintes:

∆ > 0 → a equação tem duas raízes reais e diferentes;

∆ = 0 → a equação tem uma única raiz real;

∆ < 0 → a equação não tem raízes reais.

Em matemática, o discriminante da equação do segundo grau é em geral representado pelo símbolo delta (∆).

 

Quando existem raízes nessa equação no formato ax² + bx + c = 0, elas são calculadas conforme as expressões matemáticas:

 

Há uma relação entre a soma e o produto dessas raízes, que é dada pelas fórmulas a seguir:

Soma das raízes (S):

 

Produto das raízes (P)

 

Vamos a alguns exemplos para compreender melhor:

Exemplo 1

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x² + x – 2 = 0. Nesta equação, temos a = 10, b = 1 e c = -2.

A soma das raízes é , que é S = -1/10. O produto das raízes é igual a , que é P = -2/10 = -1/5.

Exemplo 2

Determine a soma e o produto das raízes da equação x² – 7x + 10 = 0. Nesta equação, temos a = 1, b = -7 e c = 10.

A soma das raízes é , que é S = -(-7)/1 = 7. O produto das raízes é igual a , que é P = 10/1 = 10.

Se nos basearmos no resultado acima, vemos que as raízes dessa equação são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 x 5 = 10.

Construção de equações do segundo grau com base em suas raízes

Por meio da fórmula geral de resolução, também chamada de fórmula de Bhaskara, saímos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, baseados nas relações de Girard, vemos como podemos chegar à equação a partir das raízes.

Como já sabemos, a forma reduzida deste tipo de equação ax² + bx + c = 0. Ao dividirmos os membros da equação por a, temos:

Isso vai levar à soma e produto que vimos acima:

           e          

Fazendo a substituição, temos:

Assim, a equação x² – Sx + P = 0, em que os coeficientes S e P representam  a soma e o produto das raízes, nos possibilita recriar a equação que tem essas raízes.

Exemplo

Para fixar o conteúdo, vamos a um exemplo. Vamos identificar as raízes de uma equação e, a partir delas e utilizando as relações de Girard, vamos chegarmos de novo à equação.

A equação é x² – 5x – 24 = 0. Ache as raízes e reconstrua a equação original.

Primeiramente, vamos achar as raízes da equação x’ e x”:

Encontramos duas raízes reais e diferentes, o que significa que Δ > 0. Veja que, nesta equação, Δ = 121.

Agora que temos as raízes, podemos reconstruir a equação original por meio das relações de Girard.

S = x’ + x” = 8 + (-3) = 5

P = x’ . x” = 8 . (-3) = -24

Reconstruindo, temos:

x² – Sx + P = 0

x² – 5x – 24 = 0

Assim, partindo da equação x² – 5x – 24 = 0, achamos as raízes x’ = 8 e x” = -3 e, partindo da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.


É isso aí, aluno! Espero que você tenha entendido as relações entre coeficientes e raízes. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


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