Analise combinatória e probabilidade

Resumo análise combinatória e probabilidade

Fala pessoal, tudo belezinha?

Neste blog, vamos abordar um assunto muito importante, mas que muita gente erra: análise combinatória e probabilidade. E não precisa se descabelar: prestando atenção, você terá plenas condições de aprender e acertar as questões do Enem e dos vestibulares!

Vem que o Procópio ensina!

Análise combinatória e probabilidade

Para começarmos, vamos de conceito de análise combinatória e probabilidade. É essencial ter em mente que ambos os assuntos estão relacionados intimamente. Por exemplo, em algumas questões de probabilidade, é preciso determinar o espaço amostral, que nada mais é do que um conjunto formado por todos os possíveis resultados de certo evento (calma, veremos tudo isso mais adiante).

Em alguns casos, o espaço amostral E é colocado de maneira bem direta, como no caso do lançamento de uma moeda, em que os resultados possíveis são cara ou coroa. Eles são expressos da seguinte forma:

E = {cara, coroa}

Agora imagine o seguinte caso: um dado é lançado 3 vezes seguidas e queremos saber o espaço amostral dessa experiência. Perceba que não é fácil anotar todas as possibilidades, então precisamos usar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como princípio multiplicativo.

Esse princípio determina que “o número de possibilidades de fazer n ações distintas e independentes é a multiplicação da quantidade de modos possíveis que cada uma pode ser feita”. Em outras palavras, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

No caso do evento exemplificado, ele pode ser realizado em 3 estágios, e em cada um temos 6 possibilidades, uma vez que um dado possui seis faces, assim:

  • 1º estágio: 6 possibilidades;
  • 2º estágio: 6 possibilidades;
  • 3º estágio: 6 possibilidades.

Conforme o PFC, o total de possibilidades é: 6 x 6 x 6 = 216

Assim, o espaço amostral neste caso é 216.

 

Fatorial

Agora que já compreendemos o PFC, vamos ver outro conceito fundamental para o estudo de análise combinatória e probabilidade: o fatorial.

O fatorial é uma maneira de decompor um número natural. Para calcular o número fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos os seus antecessores até o número 1. O fatorial é representado pelo sinal de exclamação – “!”.

Exemplo: considerando n um número natural maior do que 1 (um), podemos determinar como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3). … .1

 

Para que serve a análise combinatória

A análise combinatória está relacionada com o progresso de contagem, ou seja, o estudo dessa área da Matemática permite desenvolver ferramentas que ajudam na realização de contagens de maneira mais eficaz.

A análise combinatória vai analisar e contar todas as combinações possíveis. Esse tipo de operação está presente continuamente em nosso cotidiano e prever essas combinações é imprescindível para a tomada de decisões.

Podemos encontrar combinações desde aspectos simples, como a placa de um carro – que, pelo menos no Brasil, é única por estado, o Cadastro de Pessoa Física (CPF) – que é único por cidadão, até pontos mais complexos, como algoritmos de programação, investimentos em bolsas etc. Além disso, a análise combinatória dá apoio a outras áreas de conhecimento e para estudos mais profundos da própria Matemática.

 

Tipos de combinatória

Como citamos, alguns problemas de análise combinatória são mais complexos e resolvidos com mais facilidade mediante novas ferramentas. Essas ferramentas são conhecidas como agrupamento, pois agrupam elementos de diferentes modos, tornando mais simples o processo de contagem. São 3 tipos de agrupamento: arranjo simples, combinação simples e permutação.

 

Arranjo simples

Nos arranjos simples, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza deles. Para obter o arranjo simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), usa-se a seguinte expressão:

n é o número de elementos, e r é o número de elementos escolhidos.

Exemplo: vamos imaginar a votação para selecionar um representante e um vice-representante de uma turma com 40 alunos, sendo que o mais votado se torna o representante e o segundo mais votado, o vice-representante. Assim, de quantas formas diferentes a escolha pode ser realizada? Veja que, neste caso, a ordem é importante, pois afeta o resultado final.

Logo, o arranjo pode ser feito de 1560 formas distintas.

 

Combinação simples

Combinações simples de n elementos tomados de p a p (p ≤ n) são subconjuntos com exatamente p elementos que podem ser formados com os n elementos dados. A fórmula é dada por:

Sendo n é o total de elementos e r o número de elementos escolhidos.

Exemplo: vamos calcular a combinação de 8 elementos tomados de 3 a 3.

Ou seja, o número de combinações possíveis é 56.

 

Permutação

Permutação são agrupamentos ordenados de todos os elementos de um conjunto. Permutar é trocar de posição, formando nova ordem. A permutação de um conjunto com n elementos é calculada por: 

P = n!

A permutação é usada em problemas que envolvem anagramas, filas, posições etc. Não se esqueça que todos os elementos do conjunto precisam ser usados. E a ordem dos elementos é importante.

Exemplo: os anagramas da palavra ROMA. Anagrama é a troca de posição entre as letras de uma palavra, formando novas palavras, que podem ou não fazer sentido. É um problema de permutação pois calculamos todos os agrupamentos possíveis ao trocar a ordem de todos os elementos do conjunto.

A palavra ROMA possui 4 letras. Pelo PFC vamos tomar 4 decisões, ou seja, escolher a primeira, segunda, terceira e quarta letra.

  • 1 ª letra: 4 possibilidades (R, O, M, A)
  • 2 ª letra: como escolhemos uma letra na primeira, temos agora 3 possibilidades, qualquer que seja a alternativa;
  • 3 ª letra: escolhemos uma letra na primeira e outra na segunda posição então restam 2 possibilidades;
  • 4 ª letra: já escolhemos 3 letras (primeira, segunda e terceira posições), e agora nos resta apenas uma possibilidade.

Pelo PFC, o número de anagramas da palavra ROMA é calculado por: 4 . 3 . 2 .1 = 24. Ou seja, o produto é 24 possibilidades.

Se usarmos a fórmula da permutação, temos P₄ = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades.

 

Probabilidade

A probabilidade possibilita analisarmos ou calcularmos as chances de obtermos determinado resultado de um experimento. Por exemplo, a chance de sair determinado número no lançamento de dados ou de ganhar na loteria.

A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e o número de eventos favoráveis, e é representada pela seguinte equação:

Sendo:

P(A): probabilidade de ocorrer um evento A

n(A): número de resultados favoráveis

n(Ω): número total de resultados possíveis

Para encontrarmos o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes precisamos recorrer às expressões vistas em análise combinatória. Ou seja, para o estudo da probabilidade, é preciso ter pelo menos um conhecimento elementar de análise combinatória.

 


É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor análise combinatória e probabilidade. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


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