Sistemas Lineares

Sistemas lineares: resolução e discussão

Olá, aluno, tudo bem?

Neste post, vamos falar de um tema que dá nó na cabeça de muitos estudantes: sistemas lineares. De fato, esse conteúdo exige bastante atenção para sua discussão e resolução, mas, se feito com cuidado, não é uma missão impossível.

E então, vamos lá? Vem comigo!

Definição de sistemas lineares

Para começar vamos de definição: o sistema linear consiste na relação mútua entre duas ou mais equações, ou seja, equações que compartilham da mesma solução ou do mesmo conjunto solução, que apresentam a seguinte forma:

Algumas vezes, esse sistema é representado com um símbolo de chave do lado esquerdo ({) para mostrar que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação. Os coeficientes aₘ₁x₁, aₘ₂x₂, aₘₙxₙ das incógnitas x₁, xₘ₂, xₙ são números reais. Ao mesmo tempo, b também é um número real, conhecido como termo independente.

Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a zero (0): a₁x₁ + a₂x₂ = 0. Assim, aqueles que possuem termo independente diferente de zero (0) são os sistemas não homogêneos: a₁x₁ + a₂x₂ = 4.

 

Classificação e discussão de sistemas lineares

Os sistemas lineares podem ser classificados de acordo com o número de soluções possíveis. Não se esqueça que a solução das equações é encontrada pela substituição das variáveis por valores.

Para discutir um sistema linear, é preciso analisá-lo de maneira determinar os valores dos coeficientes das equações que fazem com que o sistema possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) e Impossível (SI) – logo veremos o que significa cada uma dessas classificações.

Colocando condições sobre um dos coeficientes, já se pode discutir o sistema e relacionar os valores que o coeficiente pode assumir, relacionando-os com as classificações dos sistemas.

Para discutir um sistema linear, é preciso saber alguns conceitos importantes: o cálculo do determinante da matriz que possui os coeficientes das equações que constituem o sistema linear, o escalonamento do sistema linear e a classificação dos sistemas lineares escalonados.

Há um produto de matrizes que representa qualquer sistema linear. Assim, analisaremos e classificaremos o sistema linear segundo o determinante da matriz dos coeficientes das equações. Vejamos abaixo matrizes que apresentam um sistema 2 x 2 (2 equações e 2 incógnitas):

Assim, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes:

 

Agora, vamos ver quais são as possíveis situações com base nos determinantes:

Sistema Possível e Determinado (SPD)

Quando há somente uma solução possível, o que ocorre quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0). Exemplo:
x – y + z = 3
2x + y – z = 0
3x – y + 2z = 6

m = n = 3

Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Quando as soluções possíveis são infinitas, o que ocorre quando o determinante é igual a zero (D = 0). Exemplo:
x + 3y + 2z = 1
-2x + y + z = -2
-x + 4y + 3z = -1

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0
Neste caso, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

Sistema Impossível (SI)

Quando não é possível chegar a qualquer tipo de solução, o que ocorre quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0). Exemplo:
x + 2y + z = 1
2x + y – 3z = 4
3x + 3y – 2z = 0

            

Como D = 0 e D ≠ 0, o sistema é impossível e não tem solução.

As matrizes relacionadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São consideradas completas quando consideram os termos independentes das equações. Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de coeficientes é o mesmo que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero.

 


É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor os sistemas lineares e sua discussão e resolução. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!


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