Entenda de uma vez a Teoria dos Conjuntos

E aí, estudante, tudo certo?

Neste post, vamos dar uma olhada no conceito de Teoria dos Conjuntos, uma disciplina que, embora não seja tão difícil assim, acaba dando nó na cabeça de muitos alunos. Mas não precisa ser assim. Analisando a teoria da maneira correta e treinando bastante, é possível compreendê-la direitinho e arrasar nos exames e provas. E aí, preparado? Então, vem comigo!

Teoria dos Conjuntos

A Teoria dos Conjuntos é uma teoria bastante utilizada na Matemática. Contudo, a noção básica de conjunto não é uma coisa definida; ela é aceita intuitivamente, o que é conhecido como noção primitiva.

Ela foi usada primeiramente pelo matemático Georg Cantor (1845-1918), que determinou o conjunto como uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, conhecidos como elementos do conjunto.

Mas, antes de irmos além, vamos dar uma olhada em alguns conceitos também considerados primitivos e que são importantes para a Teoria de Conjuntos:

  • Conjunto: geralmente designado por uma letra maiúscula (A, B… Y, Z);
  • Elemento: geralmente designado por uma letra minúscula (a, b… y, z);
  • Pertinência: relação entre elemento e conjunto, detonada pelo símbolo ∈, lido como “pertence a”.

Notação e representação

Pode-se representar um conjunto de várias formas. Vejamos como:

  1. Listagem dos elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista em um par de chaves.

Os elementos de um conjunto, quando apresentados assim, ficam separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, no caso da existência de número decimais no conjunto. O tipo de representação abaixo é chamado de representação tabular:

Exemplo: Seja A o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

  1. Uma propriedade de seus elementos

A apresentação de um conjunto por meio de listagem de seus elementos tem um inconveniente: não tem uma notação prática para casos quando o conjunto tem uma infinidade de elementos. Assim, também é possível apresentá-lo por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a esses elementos.

Exemplo: Seja A o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

A = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

  1. Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn é um modo gráfico de apresentar um conjunto e, por isso, muito prático. Os elementos são mostrados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Assim, os pontos que ficam fora da linha representam elementos que não pertencem ao conjunto.

Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto.

Alguns símbolos matemáticos

Em se tratando de Teoria dos Conjuntos, existem alguns símbolos matemáticos aos quais precisamos ficar atentos. São eles:

  • < (é menor que)
  • > (é maior que)
  • ≤ (é menor ou igual a)
  • ≥ (é maior ou igual a)
  • { } ou Ø (conjunto vazio)

Relação de Pertinência

Como um conjunto é formado por elementos, um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. E a forma de dizermos isso é:

a pertence a A e escrevemos a ∈ A

Se o objeto a não pertencer a A, dizemos:

que a não pertence a A e escrevemos a ∉ A.

Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {1, 3, 5, 7}

O algarismo 5 pertence ao conjunto A, então: 5 ∈ A.

O algarismo 4 não pertence ao conjunto A, então: 4 ∉ A.

Subconjuntos – Relação de Inclusão

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo o elemento que pertencer a A também pertencer a B. Representamos assim:

A ⊂ B (lê-se: A contido em B)

Mas também há outra forma de apresentar essa relação de inclusão:

B ⊃ A (lê-se: B contém A)

Quando um elemento de A não pertencer a B, então o primeiro não estará contido no segundo. Neste caso, apresentamos assim:

A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Lembre que a relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto. Já a relação de inclusão se refere a dois conjuntos.

Errado: 2 ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} | Correto: 2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}

Errado: {2} ∈ {0, 2, 4, 6, 8} | Correto: {2} ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}

Exemplo: Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A ⊂ B, pois todo retângulo é um quadrilátero.

Vamos ver a representação por diagrama.

Conjuntos Numéricos

No estudo da Teoria dos Conjuntos, um dos conteúdos mais comuns são os conjuntos numéricos. Vamos a eles:

  1. Conjunto dos números naturais (IN)

É o conjunto dos números inteiros não negativos:

IN = {0, 1, 2, 3, 4,…}

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:

IN* = {1, 2, 3, 4, 5,…} o zero foi excluído do conjunto IN.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:

  1. Conjunto dos números inteiros (Z)

É o conjunto de números que podem ser escritos sem um componente fracional.

O conjunto IN é subconjunto de Z, mas também temos outros subconjuntos de Z, como:

Z* = Z – {0}

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5, …}

Perceba que Z+= IN.

Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:

  1. Conjunto dos números irracionais (I)

Os números irracionais são decimais infinitos não periódicos. Em outras palavras, são números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3,1415926535…

  1. Conjunto dos números reais (IR)

O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais. Ou seja:

IR = Q U {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}

Em diagrama:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.

Como subconjuntos importantes de IR, temos:

IR* = IR – {0}

IR+ = conjunto dos números reais não negativos.

IR_ = conjunto dos números reais não positivos.

Não se esqueça que entre dois números inteiros existem infinitos números reais.

Exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 …

É isso aí, aluno! Espero que você tenha compreendido um pouco melhor como entender e detonar no Enem. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça meus planos e cursos. Espero você!


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